Encontre uma aproximação de raiz3 com erro inferior a 10^-2 pelo método da bissecção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar uma aproximação de raiz3 usando o método da bissecção, garantindo que o erro seja menor que 10^-2. Isso está relacionado ao conteúdo de métodos numéricos, especificamente o método da bissecção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções de maneira iterativa. Para resolver isso, vamos precisar definir um intervalo inicial onde sabemos que raiz3 está localizado e então aplicar o método da bissecção até atingir a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos encontrar a raiz. Nesse caso, queremos resolver raiz3, que é o mesmo que resolver f(x) = x^2 - 3 = 0. Estamos procurando o valor de x que faz f(x) = 0.

Passo 3

Agora, precisamos escolher um intervalo inicial onde sabemos que a raiz está localizada. Sabemos que 1^2 = 1 e 2^2 = 4, então raiz3 está entre 1 e 2. Portanto, nosso intervalo inicial é [1, 2].

Passo 4

Vamos calcular o ponto médio desse intervalo:
c = a + b2 = 1 + 22 = 1,5
Agora, avaliamos f(c):
f(1,5) = (1,5)^2 - 3 = 2,25 - 3 = -0,75
Como f(c) é negativo e f(a) = f(1) = -2, isso significa que a raiz está no intervalo [1,5, 2].

Passo 5

Repetimos o processo com o novo intervalo [1,5, 2]. Calculamos o novo ponto médio:
c = 1,5 + 22 = 1,75
Avaliamos f(1,75):
f(1,75) = (1,75)^2 - 3 = 3,0625 - 3 = 0,0625
Como f(c) é positivo e f(b) = f(2) = 1, a raiz está no intervalo [1,5, 1,75].

Passo 6

Continuamos com o intervalo [1,5, 1,75]. Calculamos o ponto médio:
c = 1,5 + 1,752 = 1,625
Avaliamos f(1,625):
f(1,625) = (1,625)^2 - 3 = 2,640625 - 3 = -0,359375
Como f(c) é negativo, a raiz está no intervalo [1,625, 1,75].

Passo 7

Agora, com o intervalo [1,625, 1,75], calculamos:
c = 1,625 + 1,752 = 1,6875
Avaliamos f(1,6875):
f(1,6875) = (1,6875)^2 - 3 approx 2,84765625 - 3 = -0,15234375
Como f(c) é negativo, a raiz está no intervalo [1,6875, 1,75].

Passo 8

Continuamos com [1,6875, 1,75]. Calculamos:
c = 1,6875 + 1,752 = 1,71875
Avaliamos f(1,71875):
f(1,71875) = (1,71875)^2 - 3 approx 2,953125 - 3 = -0,046875
Como f(c) é negativo, a raiz está no intervalo [1,71875, 1,75].

Passo 9

Mais uma vez, com [1,71875, 1,75], calculamos:
c = 1,71875 + 1,752 = 1,734375
Avaliamos f(1,734375):
f(1,734375) = (1,734375)^2 - 3 approx 3,006103515625 - 3 = 0,006103515625
Como f(c) é positivo, a raiz está no intervalo [1,71875, 1,734375].

Passo 10

Finalmente, com [1,71875, 1,734375], calculamos:
c = 1,71875 + 1,7343752 = 1,7265625
Avaliamos f(1,7265625):
f(1,7265625) = (1,7265625)^2 - 3 approx 2,98095703125 - 3 = -0,01904296875
Como f(c) é negativo, a raiz está no intervalo [1,7265625, 1,734375].

Resposta

Aproximando raiz3 usando o método da bissecção com erro inferior a 10^-2, obtemos raiz3 approx 1,73.

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