Encontre uma aproximação de com erro inferior a pelo método da bissecção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar uma aproximação de usando o método da bissecção, garantindo que o erro seja menor que . Isso está relacionado ao conteúdo de métodos numéricos, especificamente o método da bissecção, que é uma técnica para encontrar raízes de funções de maneira iterativa. Para resolver isso, vamos precisar definir um intervalo inicial onde sabemos que está localizado e então aplicar o método da bissecção até atingir a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos encontrar a raiz. Nesse caso, queremos resolver , que é o mesmo que resolver . Estamos procurando o valor de que faz .

Passo 3

Agora, precisamos escolher um intervalo inicial onde sabemos que a raiz está localizada. Sabemos que e , então está entre 1 e 2. Portanto, nosso intervalo inicial é [1, 2].

Passo 4

Vamos calcular o ponto médio desse intervalo:
Agora, avaliamos :
Como é negativo e , isso significa que a raiz está no intervalo [1,5, 2].

Passo 5

Repetimos o processo com o novo intervalo [1,5, 2]. Calculamos o novo ponto médio:
Avaliamos :
Como é positivo e , a raiz está no intervalo [1,5, 1,75].

Passo 6

Continuamos com o intervalo [1,5, 1,75]. Calculamos o ponto médio:
Avaliamos :
Como é negativo, a raiz está no intervalo [1,625, 1,75].

Passo 7

Agora, com o intervalo [1,625, 1,75], calculamos:
Avaliamos :
Como é negativo, a raiz está no intervalo [1,6875, 1,75].

Passo 8

Continuamos com [1,6875, 1,75]. Calculamos:
Avaliamos :
Como é negativo, a raiz está no intervalo [1,71875, 1,75].

Passo 9

Mais uma vez, com [1,71875, 1,75], calculamos:
Avaliamos :
Como é positivo, a raiz está no intervalo [1,71875, 1,734375].

Passo 10

Finalmente, com [1,71875, 1,734375], calculamos:
Avaliamos :
Como é negativo, a raiz está no intervalo [1,7265625, 1,734375].

Resposta

Aproximando usando o método da bissecção com erro inferior a , obtemos .

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