A localização barx do centróide de um setor circular é dada por
barx=2 r sen theta3 theta
Determine o ângulo theta para o qual barx=r2.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma fórmula que nos dá a localização do centróide (o “centro de massa”) de um setor circular:
A gente precisa descobrir qual o ângulo barx = 2 r sen theta3 theta que faz com que theta. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de trigonometria e um pouquinho de álgebra para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir barx por r2 na fórmula:
Nosso objetivo é encontrar o valor de r2 = 2 r sen theta3 theta que satisfaz essa igualdade.

Passo 3

Vamos simplificar a equação para facilitar. Podemos dividir os dois lados por r (já que r neq 0):

Passo 4

Agora, vamos multiplicar ambos os lados por 3 theta para eliminar o denominador:
Ou seja:

Passo 5

Essa é uma equação que mistura theta e , o que torna difícil resolvê-la de maneira exata com métodos algébricos tradicionais. Então, vamos precisar usar uma abordagem numérica ou um método de tentativa e erro para encontrar uma aproximação para sen theta.

Passo 6

Vamos tentar alguns valores de theta para ver qual se aproxima mais da igualdade:
  • Para theta = 0.5 radianos:
    • 3 times 0.5 = 1.5
    • Diferença: 4 sen 0.5 approx 4 times 0.4794 = 1.9176
  • Para 1.9176 - 1.5 = 0.4176 radianos:
    • theta = 0.6
    • Diferença: 3 times 0.6 = 1.8
  • Para 4 sen 0.6 approx 4 times 0.5646 = 2.2584 radianos:
    • 2.2584 - 1.8 = 0.4584
    • Diferença: theta = 0.4
Parece que quanto menor o 3 times 0.4 = 1.2, maior a diferença positiva.

Passo 7

Vamos reduzir gradualmente o valor de theta para encontrar uma melhor aproximação.
  • Para theta = 0.7 radianos:
    • 3 times 0.7 = 2.1
    • Diferença: 4 sen 0.7 approx 4 times 0.6442 = 2.5768
  • Para 2.5768 - 2.1 = 0.4768 radianos:
    • theta = 0.3
    • Diferença: 3 times 0.3 = 0.9
Ainda estamos procurando o ponto onde as duas expressões sejam iguais, ou seja, a diferença seja zero.

Passo 8

Para refinar, podemos usar o método de interpolação linear. Observando os resultados:
  • theta = 0.3: Diferença ≈ 0.282
  • theta = 0.4: Diferença ≈ 0.3576
Parece que a diferença aumenta com o aumento de theta. Vamos tentar valores menores que 0.3.
  • Para theta = 0.2 radianos:
    • 3 times 0.2 = 0.6
    • Diferença: 4 sen 0.2 approx 4 times 0.1987 = 0.7948
  • Para 0.7948 - 0.6 = 0.1948 radianos:
    • theta = 0.1
    • Diferença: 3 times 0.1 = 0.3
Ainda estamos procurando, mas vamos notar que a diferença diminui à medida que 4 sen 0.1 approx 4 times 0.0998 = 0.3992 diminui.

Passo 9

Parece que estamos nos aproximando, mas ainda não chegamos a zero. Para uma estimativa melhor, podemos usar uma aproximação linear entre os pontos conhecidos.
Por exemplo, entre theta = 0.1 e theta = 0.2:
  • Em theta = 0.1: Diferença ≈ 0.0992
  • Em theta = 0.2: Diferença ≈ 0.1948
Sabemos que a diferença está aumentando à medida que theta aumenta. Queremos que a diferença seja zero, então precisamos de um valor de theta menor que 0.1 radianos.

Passo 10

Vamos tentar theta = 0.05 radianos:
  • 3 times 0.05 = 0.15
  • Diferença: 4 sen 0.05 approx 4 times 0.04998 = 0.19992
Ainda não chegamos a zero, mas a diferença está diminuindo.

Passo 11

Para continuar, podemos ajustar ainda mais:
  • Para theta = 0.03 radianos:
    • 3 times 0.03 = 0.09
    • Diferença: 4 sen 0.03 approx 4 times 0.0299955 = 0.119982
  • Para 0.119982 - 0.09 = 0.029982 radianos:
    • theta = 0.02
    • Diferença: 3 times 0.02 = 0.06
Ainda precisamos de 4 sen 0.02 approx 4 times 0.0199987 = 0.0799948 menor.

Passo 12

Finalizando com theta = 0.015 radianos:
  • 3 times 0.015 = 0.045
  • Diferença: 4 sen 0.015 approx 4 times 0.0149997 = 0.0599988
Estamos chegando perto, mas para uma resposta mais precisa, precisaríamos continuar esse processo até que a diferença seja extremamente pequena ou usar uma calculadora científica ou software que resolva equações transcendentes.

Resposta

Aproximadamente, o ângulo theta que satisfaz barx = r2 é cerca de 0.015 radianos.

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