A localização
do centróide de um setor circular é dada por
Determine o ângulo
para o qual
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma fórmula que nos dá a localização do centróide (o “centro de massa”) de um setor circular:
A gente precisa descobrir qual o ângulo
que faz com que
. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de trigonometria e um pouquinho de álgebra para resolver a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
por
na fórmula:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que satisfaz essa igualdade.
Passo 3
Vamos simplificar a equação para facilitar. Podemos dividir os dois lados por
(já que
):
Passo 4
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Ou seja:
Passo 5
Essa é uma equação que mistura
e , o que torna difícil resolvê-la de maneira exata com métodos algébricos tradicionais. Então, vamos precisar usar uma abordagem numérica ou um método de tentativa e erro para encontrar uma aproximação para
.
Passo 6
Vamos tentar alguns valores de
para ver qual se aproxima mais da igualdade:
-
Para
radianos: -
- Diferença:
-
-
Para
radianos: -
- Diferença:
-
-
Para
radianos: -
- Diferença:
-
Parece que quanto menor o
, maior a diferença positiva.
Passo 7
Vamos reduzir gradualmente o valor de
para encontrar uma melhor aproximação.
-
Para
radianos: -
- Diferença:
-
-
Para
radianos: -
- Diferença:
-
Ainda estamos procurando o ponto onde as duas expressões sejam iguais, ou seja, a diferença seja zero.
Passo 8
Para refinar, podemos usar o método de interpolação linear. Observando os resultados:
-
: Diferença ≈ 0.282 -
: Diferença ≈ 0.3576
Parece que a diferença aumenta com o aumento de
. Vamos tentar valores menores que 0.3.
-
Para
radianos: -
- Diferença:
-
-
Para
radianos: -
- Diferença:
-
Ainda estamos procurando, mas vamos notar que a diferença diminui à medida que
diminui.
Passo 9
Parece que estamos nos aproximando, mas ainda não chegamos a zero. Para uma estimativa melhor, podemos usar uma aproximação linear entre os pontos conhecidos.
Por exemplo, entre
e
:
- Em
: Diferença ≈ 0.0992 - Em
: Diferença ≈ 0.1948
Sabemos que a diferença está aumentando à medida que
aumenta. Queremos que a diferença seja zero, então precisamos de um valor de
menor que 0.1 radianos.
Passo 10
Vamos tentar
radianos:
-
- Diferença:
Ainda não chegamos a zero, mas a diferença está diminuindo.
Passo 11
Para continuar, podemos ajustar ainda mais:
-
Para
radianos: -
- Diferença:
-
-
Para
radianos: -
- Diferença:
-
Ainda precisamos de
menor.
Passo 12
Finalizando com
radianos:
-
- Diferença:
Estamos chegando perto, mas para uma resposta mais precisa, precisaríamos continuar esse processo até que a diferença seja extremamente pequena ou usar uma calculadora científica ou software que resolva equações transcendentes.
Resposta
Aproximadamente, o ângulo
que satisfaz
é cerca de
radianos.
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Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação
para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere
. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(d) para
;
(d)
Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação
para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere
. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
© para
;
©
Encontre uma aproximação de
com erro inferior a
pelo método da bissecção.
Resolva pelo método de fatoração de Cholesky o sistema linear abaixo.