A localização do centróide de um setor circular é dada por
Determine o ângulo para o qual .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma fórmula que nos dá a localização do centróide (o “centro de massa”) de um setor circular:
A gente precisa descobrir qual o ângulo que faz com que . Para isso, vamos precisar de conhecimentos de trigonometria e um pouquinho de álgebra para resolver a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir por na fórmula:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que satisfaz essa igualdade.

Passo 3

Vamos simplificar a equação para facilitar. Podemos dividir os dois lados por (já que ):

Passo 4

Agora, vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:
Ou seja:

Passo 5

Essa é uma equação que mistura e , o que torna difícil resolvê-la de maneira exata com métodos algébricos tradicionais. Então, vamos precisar usar uma abordagem numérica ou um método de tentativa e erro para encontrar uma aproximação para .

Passo 6

Vamos tentar alguns valores de para ver qual se aproxima mais da igualdade:
  • Para radianos:
    • Diferença:
  • Para radianos:
    • Diferença:
  • Para radianos:
    • Diferença:
Parece que quanto menor o , maior a diferença positiva.

Passo 7

Vamos reduzir gradualmente o valor de para encontrar uma melhor aproximação.
  • Para radianos:
    • Diferença:
  • Para radianos:
    • Diferença:
Ainda estamos procurando o ponto onde as duas expressões sejam iguais, ou seja, a diferença seja zero.

Passo 8

Para refinar, podemos usar o método de interpolação linear. Observando os resultados:
  • : Diferença ≈ 0.282
  • : Diferença ≈ 0.3576
Parece que a diferença aumenta com o aumento de . Vamos tentar valores menores que 0.3.
  • Para radianos:
    • Diferença:
  • Para radianos:
    • Diferença:
Ainda estamos procurando, mas vamos notar que a diferença diminui à medida que diminui.

Passo 9

Parece que estamos nos aproximando, mas ainda não chegamos a zero. Para uma estimativa melhor, podemos usar uma aproximação linear entre os pontos conhecidos.
Por exemplo, entre e :
  • Em : Diferença ≈ 0.0992
  • Em : Diferença ≈ 0.1948
Sabemos que a diferença está aumentando à medida que aumenta. Queremos que a diferença seja zero, então precisamos de um valor de menor que 0.1 radianos.

Passo 10

Vamos tentar radianos:
  • Diferença:
Ainda não chegamos a zero, mas a diferença está diminuindo.

Passo 11

Para continuar, podemos ajustar ainda mais:
  • Para radianos:
    • Diferença:
  • Para radianos:
    • Diferença:
Ainda precisamos de menor.

Passo 12

Finalizando com radianos:
  • Diferença:
Estamos chegando perto, mas para uma resposta mais precisa, precisaríamos continuar esse processo até que a diferença seja extremamente pequena ou usar uma calculadora científica ou software que resolva equações transcendentes.

Resposta

Aproximadamente, o ângulo que satisfaz é cerca de radianos.

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Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere . Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(d) para ;
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© para ;
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