Encontre uma aproximação para com precisão via Método da Newton. Como sugestão, um intervalo de comprimento 1 que contenha a solução e aplique o método considerando como critério de parada e aproximação inicial o ponto médio desse intervalo. Trabalhe com 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar uma aproximação para usando o Método da Newton com uma precisão de . Para isso, vamos precisar entender o que é o Método da Newton, como escolher um intervalo que contenha a solução e como aplicar a iteração inicial. Vamos trabalhar com quatro casas decimais para deixar a resposta bem precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos resolver. Queremos encontrar tal que . Então, podemos definir a função:
Queremos encontrar a raiz dessa função, ou seja, o valor de que faz .

Passo 3

Agora, vamos escolher um intervalo de comprimento 1 que contenha a solução. Sabemos que:
  • Se , então
  • Se , então
Como é negativo e é positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz no intervalo [2, 3].

Passo 4

Vamos usar o ponto médio desse intervalo como nossa aproximação inicial . O ponto médio entre 2 e 3 é:
Então, começamos com .

Passo 5

O Método da Newton utiliza a seguinte fórmula para encontrar a próxima aproximação:
Primeiro, precisamos calcular a derivada de :

Passo 6

Vamos aplicar a fórmula para encontrar :

Passo 7

Agora, calculamos para verificar a precisão:
Como o valor absoluto de é maior que nossa precisão , precisamos continuar.

Passo 8

Vamos calcular usando :

Passo 9

Verificamos :
Como a diferença agora é menor que , atingimos a precisão desejada.

Resposta

A aproximação para com precisão é .

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Ano 1940 1950 1960 1970 1980 1990
População(em milhares) 132.165 151.326 179.323 203.302 226.542 249.633
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