Encontre uma aproximação para
com precisão
via Método da Newton. Como sugestão, um intervalo de comprimento 1 que contenha a solução e aplique o método considerando como critério de parada
e aproximação inicial
o ponto médio desse intervalo. Trabalhe com 4 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar uma aproximação para
usando o Método da Newton com uma precisão de
. Para isso, vamos precisar entender o que é o Método da Newton, como escolher um intervalo que contenha a solução e como aplicar a iteração inicial. Vamos trabalhar com quatro casas decimais para deixar a resposta bem precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos resolver. Queremos encontrar
tal que
. Então, podemos definir a função:
Queremos encontrar a raiz dessa função, ou seja, o valor de
que faz
.
Passo 3
Agora, vamos escolher um intervalo de comprimento 1 que contenha a solução. Sabemos que:
- Se
, então - Se
, então
Como
é negativo e
é positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz no intervalo [2, 3].
Passo 4
Vamos usar o ponto médio desse intervalo como nossa aproximação inicial
. O ponto médio entre 2 e 3 é:
Então, começamos com
.
Passo 5
O Método da Newton utiliza a seguinte fórmula para encontrar a próxima aproximação:
Primeiro, precisamos calcular a derivada de
:
Passo 6
Vamos aplicar a fórmula para encontrar
:
Passo 7
Agora, calculamos
para verificar a precisão:
Como o valor absoluto de
é maior que nossa precisão
, precisamos continuar.
Passo 8
Vamos calcular
usando
:
Passo 9
Verificamos
:
Como a diferença agora é menor que
, atingimos a precisão desejada.
Resposta
A aproximação para
com precisão
é
.
Exercícios relacionados
Utilize o Método de Newton para encontrar com precisão de
, os zeros e os pontos críticos para as seguintes funções:
Suponha que a equação
seja uma função cuja tenha uma única solução em um intervalo
, sendo que
é diferenciável nesse intervalo. Suponha ainda que
. É possível pensar em uma estratégia para resolver essa equação via Método da Bissecção ? Em caso possível, descreva sua estratégia.
O modelo logístico de crescimento populacional
onde
e
são constantes e
é a população no instante
representa o valor limite da população para
.Utilize os dados o censo norte-americano de 1950,1960 e 1970 relacionados na tabela abaixo para determinar as constantes
e
para o modelo logístico de crescimento. Utilize o modelo logístico para predizer a população em 1980 e 2011, assumindo que
1950. Compare a predição para 1980 com o valor real.
Ano | 1940 | 1950 | 1960 | 1970 | 1980 | 1990 |
---|---|---|---|---|---|---|
População(em milhares) | 132.165 | 151.326 | 179.323 | 203.302 | 226.542 | 249.633 |
Utilize o Método da Bisseção para encontrar uma solução com precisão de
para os problemas:
para
e para