Encontre uma aproximação para
com precisão
via Método da Newton. Como sugestão, um intervalo de comprimento 1 que contenha a solução e aplique o método considerando como critério de parada
e aproximação inicial
o ponto médio desse intervalo. Trabalhe com 4 casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de encontrar uma aproximação para
usando o Método da Newton com uma precisão de
. Para isso, vamos precisar entender o que é o Método da Newton, como escolher um intervalo que contenha a solução e como aplicar a iteração inicial. Vamos trabalhar com quatro casas decimais para deixar a resposta bem precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos resolver. Queremos encontrar
tal que
. Então, podemos definir a função:
Queremos encontrar a raiz dessa função, ou seja, o valor de
que faz
.
Passo 3
Agora, vamos escolher um intervalo de comprimento 1 que contenha a solução. Sabemos que:
- Se
, então - Se
, então
Como
é negativo e
é positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz no intervalo [2, 3].
Passo 4
Vamos usar o ponto médio desse intervalo como nossa aproximação inicial
. O ponto médio entre 2 e 3 é:
Então, começamos com
.
Passo 5
O Método da Newton utiliza a seguinte fórmula para encontrar a próxima aproximação:
Primeiro, precisamos calcular a derivada de
:
Passo 6
Vamos aplicar a fórmula para encontrar
:
Passo 7
Agora, calculamos
para verificar a precisão:
Como o valor absoluto de
é maior que nossa precisão
, precisamos continuar.
Passo 8
Vamos calcular
usando
:
Passo 9
Verificamos
:
Como a diferença agora é menor que
, atingimos a precisão desejada.
Resposta
A aproximação para
com precisão
é
.