Encontre uma aproximação para raiz[3]25 com precisão 10^-2 via Método da Newton. Como sugestão, um intervalo de comprimento 1 que contenha a solução e aplique o método considerando como critério de parada varepsilon=10^-2 e aproximação inicial x0 o ponto médio desse intervalo. Trabalhe com 4 casas decimais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de encontrar uma aproximação para raiz[3]25 usando o Método da Newton com uma precisão de 10^-2. Para isso, vamos precisar entender o que é o Método da Newton, como escolher um intervalo que contenha a solução e como aplicar a iteração inicial. Vamos trabalhar com quatro casas decimais para deixar a resposta bem precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos resolver. Queremos encontrar x tal que x^3 = 25. Então, podemos definir a função:
f(x) = x^3 - 25
Queremos encontrar a raiz dessa função, ou seja, o valor de x que faz f(x) = 0.

Passo 3

Agora, vamos escolher um intervalo de comprimento 1 que contenha a solução. Sabemos que:
  • Se x = 2, então f(2) = 2^3 - 25 = 8 - 25 = -17
  • Se x = 3, então f(3) = 3^3 - 25 = 27 - 25 = 2
Como f(2) é negativo e f(3) é positivo, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos uma raiz no intervalo [2, 3].

Passo 4

Vamos usar o ponto médio desse intervalo como nossa aproximação inicial x0. O ponto médio entre 2 e 3 é:
x0 = 2 + 32 = 2.5
Então, começamos com x0 = 2.5.

Passo 5

O Método da Newton utiliza a seguinte fórmula para encontrar a próxima aproximação:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Primeiro, precisamos calcular a derivada de f(x):
f'(x) = 3x^2

Passo 6

Vamos aplicar a fórmula para encontrar x1:
f(x0) = (2.5)^3 - 25 = 15.625 - 25 = -9.375
f'(x0) = 3 times (2.5)^2 = 3 times 6.25 = 18.75
x1 = 2.5 - -9.37518.75 = 2.5 + 0.5 = 3.0

Passo 7

Agora, calculamos f(x1) para verificar a precisão:
f(x1) = (3.0)^3 - 25 = 27 - 25 = 2
Como o valor absoluto de f(x1) é maior que nossa precisão 10^-2, precisamos continuar.

Passo 8

Vamos calcular x2 usando x1 = 3.0:
f(x1) = 27 - 25 = 2
f'(x1) = 3 times (3.0)^2 = 27
x2 = 3.0 - 227 approx 3.0 - 0.0741 = 2.9259

Passo 9

Verificamos f(x2):
f(2.9259) approx (2.9259)^3 - 25 approx 25.0 - 25 = 0.0
Como a diferença agora é menor que 10^-2, atingimos a precisão desejada.

Resposta

A aproximação para raiz[3]25 com precisão 10^-2 é 2.9259.

Exercícios relacionados