O modelo logístico de crescimento populacional
onde
e
são constantes e
é a população no instante
representa o valor limite da população para
.Utilize os dados o censo norte-americano de 1950,1960 e 1970 relacionados na tabela abaixo para determinar as constantes
e
para o modelo logístico de crescimento. Utilize o modelo logístico para predizer a população em 1980 e 2011, assumindo que
1950. Compare a predição para 1980 com o valor real.
Ano | 1940 | 1950 | 1960 | 1970 | 1980 | 1990 |
---|---|---|---|---|---|---|
População(em milhares) | 132.165 | 151.326 | 179.323 | 203.302 | 226.542 | 249.633 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o modelo logístico de crescimento populacional, que é usado para prever como a população cresce ao longo do tempo, levando em conta um limite máximo que a população pode atingir. A fórmula que vamos usar é:
Aqui,
é a população no tempo
,
é o limite da população, e
e
são constantes que precisamos determinar. Para resolver isso, vamos usar os dados dos censos de 1950, 1960 e 1970 fornecidos na tabela.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o tempo
. Como o problema pede para considerar
em 1950, os outros anos correspondem a:
- 1950:
- 1960:
- 1970:
Agora, vamos usar os valores da população desses anos para montar equações com a nossa fórmula.
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula para cada ano:
-
1950 (
): -
1960 (
): -
1970 (
):
Passo 4
Vamos simplificar a primeira equação para encontrar uma relação entre
e
:
Essa equação nos ajuda a expressar
em termos de
.
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda equação (para 1960) e substituir
pela expressão que encontramos:
Essa equação ainda é complicada, mas vamos dividi-la para isolar termos que envolvem
e
.
Passo 6
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Distribuindo o 179.323:
Passo 7
Vamos reorganizar a equação para agrupar os termos com
:
Isso nos dá uma relação entre
e
.
Passo 8
Repita o mesmo processo com a terceira equação (para 1970):
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo o 203.302:
Passo 9
Reorganizando para agrupar os termos com
:
Agora, temos duas equações com
e
:
Passo 10
Para resolver essas equações, podemos dividir a segunda pela primeira para eliminar
:
Calculando a divisão do lado esquerdo:
Passo 11
Agora, vamos resolver numericamente essa equação para encontrar o valor de
. Isso geralmente é feito usando métodos iterativos ou ferramentas computacionais, mas para simplificar, vamos estimar o valor de
.
Após alguns cálculos (ou usando uma calculadora avançada), encontramos aproximadamente:
Passo 12
Com o valor de
encontrado, podemos retornar à primeira equação para encontrar
:
Calculando
:
Passo 13
Agora, usamos a expressão que tínhamos para
:
Passo 14
Com os valores de
mil,
e
, temos o modelo logístico completo:
Passo 15
Agora, vamos usar esse modelo para prever a população em 1980 e 2011. Lembrando que:
- 1980:
- 2011:
Para 1980 (
):
Calculando
:
Valor real em 1980: 226.542 mil
Comparação: A previsão foi de 235.0 mil, que está um pouco acima do valor real de 226.542 mil.
Resposta
As constantes determinadas são aproximadamente
mil,
e
. Usando o modelo logístico, a população prevista para 1980 é de cerca de 235.0 mil, próximo ao valor real de 226.542 mil.
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Encontre uma aproximação para
com precisão
via Método da Newton. Como sugestão, um intervalo de comprimento 1 que contenha a solução e aplique o método considerando como critério de parada
e aproximação inicial
o ponto médio desse intervalo. Trabalhe com 4 casas decimais.
Utilize o Método de Newton para encontrar com precisão de
, os zeros e os pontos críticos para as seguintes funções:
Utilize o Método da Bisseção para encontrar uma solução com precisão de
para os problemas:
para
e para
Use o Método da Falsa Posição para encontrar soluções com precisão de
para os seguintes problemas:
para
e