O modelo logístico de crescimento populacional
onde e são constantes e é a população no instante representa o valor limite da população para .Utilize os dados o censo norte-americano de 1950,1960 e 1970 relacionados na tabela abaixo para determinar as constantes e para o modelo logístico de crescimento. Utilize o modelo logístico para predizer a população em 1980 e 2011, assumindo que 1950. Compare a predição para 1980 com o valor real.
Ano 1940 1950 1960 1970 1980 1990
População(em milhares) 132.165 151.326 179.323 203.302 226.542 249.633

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o modelo logístico de crescimento populacional, que é usado para prever como a população cresce ao longo do tempo, levando em conta um limite máximo que a população pode atingir. A fórmula que vamos usar é:
Aqui, é a população no tempo , é o limite da população, e e são constantes que precisamos determinar. Para resolver isso, vamos usar os dados dos censos de 1950, 1960 e 1970 fornecidos na tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o tempo . Como o problema pede para considerar em 1950, os outros anos correspondem a:
  • 1950:
  • 1960:
  • 1970:
Agora, vamos usar os valores da população desses anos para montar equações com a nossa fórmula.

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula para cada ano:
  1. 1950 ( ):
  2. 1960 ( ):
  3. 1970 ( ):

Passo 4

Vamos simplificar a primeira equação para encontrar uma relação entre e :
Essa equação nos ajuda a expressar em termos de .

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda equação (para 1960) e substituir pela expressão que encontramos:
Essa equação ainda é complicada, mas vamos dividi-la para isolar termos que envolvem e .

Passo 6

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por :
Distribuindo o 179.323:

Passo 7

Vamos reorganizar a equação para agrupar os termos com :
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 8

Repita o mesmo processo com a terceira equação (para 1970):
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo o 203.302:

Passo 9

Reorganizando para agrupar os termos com :
Agora, temos duas equações com e :

Passo 10

Para resolver essas equações, podemos dividir a segunda pela primeira para eliminar :
Calculando a divisão do lado esquerdo:

Passo 11

Agora, vamos resolver numericamente essa equação para encontrar o valor de . Isso geralmente é feito usando métodos iterativos ou ferramentas computacionais, mas para simplificar, vamos estimar o valor de .
Após alguns cálculos (ou usando uma calculadora avançada), encontramos aproximadamente:

Passo 12

Com o valor de encontrado, podemos retornar à primeira equação para encontrar :
Calculando :

Passo 13

Agora, usamos a expressão que tínhamos para :

Passo 14

Com os valores de mil, e , temos o modelo logístico completo:

Passo 15

Agora, vamos usar esse modelo para prever a população em 1980 e 2011. Lembrando que:
  • 1980:
  • 2011:
Para 1980 ( ):
Calculando :
Valor real em 1980: 226.542 mil
Comparação: A previsão foi de 235.0 mil, que está um pouco acima do valor real de 226.542 mil.

Resposta

As constantes determinadas são aproximadamente mil, e . Usando o modelo logístico, a população prevista para 1980 é de cerca de 235.0 mil, próximo ao valor real de 226.542 mil.

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