Utilize o Método de Newton para encontrar com precisão de , os zeros e os pontos críticos para as seguintes funções:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar, usando o Método de Newton, os zeros dessa função e seus pontos críticos com uma precisão de . Para isso, vamos precisar dos conceitos de cálculo, especialmente derivadas, e entender como aplicar o Método de Newton para encontrar raízes e extremos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os zeros da função . Os zeros são os valores de para os quais . O Método de Newton é um método iterativo que nos ajuda a aproximar essas raízes. A fórmula do Método de Newton é:
Para aplicar este método, precisamos da derivada de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Derivando termo a termo:
Então, .

Passo 4

Agora, escolhemos um valor inicial próximo da raiz que queremos encontrar. Vamos supor . Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Calculando e :
Então,

Passo 5

Repetimos o processo com :
Então,

Passo 6

Continuamos as iterações até que a diferença entre e seja menor que . Após várias iterações, encontramos que:

Passo 7

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos ocorrem onde a derivada . Então, precisamos resolver:
Usando novamente o Método de Newton com a mesma precisão:
Escolhemos e aplicamos o Método de Newton para resolver :
Após realizar as iterações, encontramos que:

Resposta

Os zeros da função estão aproximadamente em e os pontos críticos estão aproximadamente em , ambos com uma precisão de .

Exercícios relacionados

Suponha que a equação seja uma função cuja tenha uma única solução em um intervalo , sendo que é diferenciável nesse intervalo. Suponha ainda que . É possível pensar em uma estratégia para resolver essa equação via Método da Bissecção ? Em caso possível, descreva sua estratégia.
Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere . Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(f) para ;
Encontre uma aproximação para com precisão via Método da Newton. Como sugestão, um intervalo de comprimento 1 que contenha a solução e aplique o método considerando como critério de parada e aproximação inicial o ponto médio desse intervalo. Trabalhe com 4 casas decimais.
O modelo logístico de crescimento populacional
onde e são constantes e é a população no instante representa o valor limite da população para .Utilize os dados o censo norte-americano de 1950,1960 e 1970 relacionados na tabela abaixo para determinar as constantes e para o modelo logístico de crescimento. Utilize o modelo logístico para predizer a população em 1980 e 2011, assumindo que 1950. Compare a predição para 1980 com o valor real.
Ano 1940 1950 1960 1970 1980 1990
População(em milhares) 132.165 151.326 179.323 203.302 226.542 249.633