Utilize o Método de Newton para encontrar com precisão de
, os zeros e os pontos críticos para as seguintes funções:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar, usando o Método de Newton, os zeros dessa função e seus pontos críticos com uma precisão de
. Para isso, vamos precisar dos conceitos de cálculo, especialmente derivadas, e entender como aplicar o Método de Newton para encontrar raízes e extremos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os zeros da função
. Os zeros são os valores de
para os quais
. O Método de Newton é um método iterativo que nos ajuda a aproximar essas raízes. A fórmula do Método de Newton é:
Para aplicar este método, precisamos da derivada de
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Derivando termo a termo:
Então,
.
Passo 4
Agora, escolhemos um valor inicial
próximo da raiz que queremos encontrar. Vamos supor
. Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Calculando
e
:
Então,
Passo 5
Repetimos o processo com
:
Então,
Passo 6
Continuamos as iterações até que a diferença entre
e
seja menor que
. Após várias iterações, encontramos que:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos ocorrem onde a derivada
. Então, precisamos resolver:
Usando novamente o Método de Newton com a mesma precisão:
Escolhemos
e aplicamos o Método de Newton para resolver
:
Após realizar as iterações, encontramos que:
Resposta
Os zeros da função
estão aproximadamente em
e os pontos críticos estão aproximadamente em
, ambos com uma precisão de
.
Exercícios relacionados
Suponha que a equação
seja uma função cuja tenha uma única solução em um intervalo
, sendo que
é diferenciável nesse intervalo. Suponha ainda que
. É possível pensar em uma estratégia para resolver essa equação via Método da Bissecção ? Em caso possível, descreva sua estratégia.
Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação
para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere
. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(f) para
;
(f)
Encontre uma aproximação para
com precisão
via Método da Newton. Como sugestão, um intervalo de comprimento 1 que contenha a solução e aplique o método considerando como critério de parada
e aproximação inicial
o ponto médio desse intervalo. Trabalhe com 4 casas decimais.
O modelo logístico de crescimento populacional
onde
e
são constantes e
é a população no instante
representa o valor limite da população para
.Utilize os dados o censo norte-americano de 1950,1960 e 1970 relacionados na tabela abaixo para determinar as constantes
e
para o modelo logístico de crescimento. Utilize o modelo logístico para predizer a população em 1980 e 2011, assumindo que
1950. Compare a predição para 1980 com o valor real.
Ano | 1940 | 1950 | 1960 | 1970 | 1980 | 1990 |
---|---|---|---|---|---|---|
População(em milhares) | 132.165 | 151.326 | 179.323 | 203.302 | 226.542 | 249.633 |