Utilize o Método de Newton para encontrar com precisão de
, os zeros e os pontos críticos para as seguintes funções:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar, usando o Método de Newton, os zeros dessa função e seus pontos críticos com uma precisão de
. Para isso, vamos precisar dos conceitos de cálculo, especialmente derivadas, e entender como aplicar o Método de Newton para encontrar raízes e extremos de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os zeros da função
. Os zeros são os valores de
para os quais
. O Método de Newton é um método iterativo que nos ajuda a aproximar essas raízes. A fórmula do Método de Newton é:
Para aplicar este método, precisamos da derivada de
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Derivando termo a termo:
Então,
.
Passo 4
Agora, escolhemos um valor inicial
próximo da raiz que queremos encontrar. Vamos supor
. Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Calculando
e
:
Então,
Passo 5
Repetimos o processo com
:
Então,
Passo 6
Continuamos as iterações até que a diferença entre
e
seja menor que
. Após várias iterações, encontramos que:
Passo 7
Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos ocorrem onde a derivada
. Então, precisamos resolver:
Usando novamente o Método de Newton com a mesma precisão:
Escolhemos
e aplicamos o Método de Newton para resolver
:
Após realizar as iterações, encontramos que:
Resposta
Os zeros da função
estão aproximadamente em
e os pontos críticos estão aproximadamente em
, ambos com uma precisão de
.