Utilize o Método de Newton para encontrar com precisão de 10^-4, os zeros e os pontos críticos para as seguintes funções: f(x)=x^22+x(ln (x)-1)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar, usando o Método de Newton, os zeros dessa função e seus pontos críticos com uma precisão de . Para isso, vamos precisar dos conceitos de cálculo, especialmente derivadas, e entender como aplicar o Método de Newton para encontrar raízes e extremos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os zeros da função xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) . Os zeros são os valores de para os quais . O Método de Newton é um método iterativo que nos ajuda a aproximar essas raízes. A fórmula do Método de Newton é:
Para aplicar este método, precisamos da derivada de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de f(x) = x^22 + x(ln(x) - 1) :
f'(x) = 2x2 + (ln(x) - 1) + x cdot 1x = x + ln(x) - 1 + 1 = x + ln(x)
Derivando termo a termo:
Então, .

Passo 4

Agora, escolhemos um valor inicial x1 = x0 - f(x0)f'(x0) próximo da raiz que queremos encontrar. Vamos supor f(1) = 12 + 1(ln(1) - 1) = 12 + 0 - 1 = -12 . Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
f'(1) = 1 + ln(1) = 1 + 0 = 1
Calculando x1 = 1 - ( -121 ) = 1 + 12 = 1,5 e :
Então,

Passo 5

Repetimos o processo com f(1,5) = (1,5)^22 + 1,5(ln(1,5) - 1) approx 2,252 + 1,5(0,4055 - 1) approx 1,125 + 1,5(-0,5945) approx 1,125 - 0,89175 = 0,23325 :
f'(1,5) = 1,5 + ln(1,5) approx 1,5 + 0,4055 = 1,9055
x2 = 1,5 - 0,233251,9055 approx 1,5 - 0,1223 = 1,3777
Então,

Passo 6

Continuamos as iterações até que a diferença entre x approx 1,3414 e seja menor que . Após várias iterações, encontramos que:

Passo 7

Agora, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos ocorrem onde a derivada x + ln(x) = 0 . Então, precisamos resolver:
x approx 0,2032
Usando novamente o Método de Newton com a mesma precisão:
Escolhemos e aplicamos o Método de Newton para resolver :
Após realizar as iterações, encontramos que:

Resposta

Os zeros da função estão aproximadamente em e os pontos críticos estão aproximadamente em , ambos com uma precisão de .

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