Suponha que a equação
seja uma função cuja tenha uma única solução em um intervalo
, sendo que
é diferenciável nesse intervalo. Suponha ainda que
. É possível pensar em uma estratégia para resolver essa equação via Método da Bissecção ? Em caso possível, descreva sua estratégia.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre resolver a equação
utilizando o Método da Bissecção. Estamos trabalhando com funções que são diferenciáveis no intervalo
e têm exatamente uma solução nesse intervalo. Além disso, sabemos que
, ou seja, os valores de
nos extremos
e
têm o mesmo sinal. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o Método da Bissecção e ver se dá pra aplicar mesmo com essa condição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Método da Bissecção. É um método numérico usado para encontrar raízes de funções contínuas que mudam de sinal em um intervalo. A ideia é dividir o intervalo ao meio repetidas vezes e escolher o subintervalo onde ocorre a mudança de sinal, aproximando-se da raiz.
Passo 3
Normalmente, o Método da Bissecção exige que
, indicando que há uma mudança de sinal entre
e
, garantindo a existência de pelo menos uma raiz no intervalo. No nosso caso, porém, temos
, ou seja, não há mudança de sinal evidente nos extremos.
Passo 4
Mas o exercício diz que há exatamente uma solução no intervalo
e que a função é diferenciável lá. Isso sugere que a função toca o eixo
somente uma vez, podendo ter um ponto de tangência onde a derivada é zero.
Passo 5
Então, para aplicar o Método da Bissecção nessa situação, precisamos adaptar a estratégia. Uma maneira é escolher um ponto intermediário
e avaliar
. Se
, encontramos a raiz. Se não, analisamos a derivada ou o comportamento da função para decidir em qual subintervalo continuar a busca.
Passo 6
Outra abordagem é modificar a função para criar uma mudança de sinal. Podemos considerar uma função auxiliar, como
, onde
é um valor pequeno. Ajustando
, podemos forçar
, permitindo o uso do Método da Bissecção tradicional.
Passo 7
Resumindo, mesmo com
, sabendo que há exatamente uma raiz no intervalo e que a função é diferenciável, podemos adaptar o Método da Bissecção modificando o intervalo ou a função para criar uma mudança de sinal, facilitando a aplicação do método.
Resposta
Sim, é possível usar o Método da Bissecção adaptando a estratégia para garantir uma mudança de sinal no intervalo, permitindo assim a aplicação do método para encontrar a única solução da equação
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação
para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere
. Tome a aproximação inicial como sendo o ponto médio dos intervalos apresentados.
(f) para
;
(f)
Use o Método de Newton para encontrar uma aproximação
para cada equação a seguir. A solução se encontra dentro do intervalo a frente de cada equação. Trabalhe com 4 casas decimais e como critério de parada considere
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(a) para
;
(a)
Utilize o Método de Newton para encontrar com precisão de
, os zeros e os pontos críticos para as seguintes funções:
Encontre uma aproximação para
com precisão
via Método da Newton. Como sugestão, um intervalo de comprimento 1 que contenha a solução e aplique o método considerando como critério de parada
e aproximação inicial
o ponto médio desse intervalo. Trabalhe com 4 casas decimais.