Utilize o Método da Bisseção para encontrar uma solução com precisão de 10^-3 para os problemas: 2 x cos (2 x)-(x+1)^2=0 para -3 <= x <=-2 e para -1 <= x <= 0

Passo 1

Vamos resolver a equação usando o Método da Bisseção. Esse método pertence ao conteúdo de Análise Numérica, especificamente para encontrar raízes de equações. Para aplicar esse método, precisamos escolher intervalos onde a função muda de sinal, o que indica a presença de uma raiz. Vamos analisar os intervalos e .

Passo 2

Primeiro, definimos a função . O Método da Bisseção requer que a função mude de sinal no intervalo escolhido, ou seja, , onde e são os extremos do intervalo.

Passo 3

Vamos verificar o intervalo f(-3) = 2(-3) cos (2 times -3) - (-3 + 1)^2 = -6 cos(-6) - 4 :
Calculamos f(-3) approx -6 times 0.96017 - 4 = -5.76102 - 4 = -9.76102 :
f(-2) = 2(-2) cos (2 times -2) - (-2 + 1)^2 = -4 cos(-4) - 1
Como f(-2) approx -4 times (-0.65364) - 1 = 2.61456 - 1 = 1.61456 , e :
Calculamos :
Como , e :
Como ( ), há uma raiz no intervalo .

Passo 4

Agora, aplicamos o Método da Bisseção no intervalo c = -3 + (-2)2 = -2.5 com precisão f(-2.5) = 2(-2.5) cos (2 times -2.5) - (-2.5 + 1)^2 = -5 cos(-5) - 2.25 :
  1. Calculamos o ponto médio:
f(-2.5) approx -5 times 0.28366 - 2.25 = -1.4183 - 2.25 = -3.6683
  1. Calculamos :
:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 5

Continuamos o processo com o novo intervalo c = -3 + (-2.5)2 = -2.75 :
  1. Ponto médio:
f(-2.75) = 2(-2.75) cos (2 times -2.75) - (-2.75 + 1)^2 = -5.5 cos(-5.5) - 3.0625
  1. Calculamos f(-2.75) approx -5.5 times 0.70867 - 3.0625 = -3.8987 - 3.0625 = -6.9612 :
:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 6

Repetimos o processo até a precisão desejada:
  1. Ponto médio:
c = -3 + (-2.75)2 = -2.875
  1. Calculamos f(-2.875) = 2(-2.875) cos (2 times -2.875) - (-2.875 + 1)^2 = -5.75 cos(-5.75) - 3.5156 :
f(-2.875) approx -5.75 times 0.4848 - 3.5156 = -2.7846 - 3.5156 = -6.3002
:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 7

Continuamos até que a diferença entre e seja menor que . Após várias iterações, encontramos que a raiz no intervalo é aproximadamente .

Passo 8

Agora, vamos verificar o intervalo f(-1) = 2(-1) cos (2 times -1) - (-1 + 1)^2 = -2 cos(-2) - 0 = -2 cos(2) :
Calculamos f(-1) approx -2 times (-0.4161) = 0.8322 :
f(0) = 2(0) cos (2 times 0) - (0 + 1)^2 = 0 - 1 = -1
:
Calculamos :
Como ( ), há uma raiz no intervalo .

Passo 9

Aplicamos o Método da Bisseção no intervalo c = -1 + 02 = -0.5 com precisão f(-0.5) = 2(-0.5) cos (2 times -0.5) - (-0.5 + 1)^2 = -1 cos(-1) - 0.25 :
  1. Calculamos o ponto médio:
f(-0.5) approx -1 times 0.5403 - 0.25 = -0.5403 - 0.25 = -0.7903
  1. Calculamos :
:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 10

Repetimos o processo com o novo intervalo c = -1 + (-0.5)2 = -0.75 :
  1. Ponto médio:
f(-0.75) = 2(-0.75) cos (2 times -0.75) - (-0.75 + 1)^2 = -1.5 cos(-1.5) - 0.0625
  1. Calculamos f(-0.75) approx -1.5 times 0.0707 - 0.0625 = -0.1061 - 0.0625 = -0.1686 :
:
Como , a raiz está no intervalo .

Passo 11

Continuamos até a precisão desejada:
Após várias iterações, encontramos que a raiz no intervalo é aproximadamente .

Resposta

As soluções encontradas pelo Método da Bisseção com precisão de x approx -2.799 e x approx -0.523 são:

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