Encontre as constantes de normalização para as seguintes funções de onda no intervalo indicado: psi(x)=A x^2 ; 0 <= x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a constante de normalização para a função de onda dada: no intervalo de . Isso está dentro do estudo da mecânica quântica, especificamente trabalhando com funções de onda. Para normalizar essa função, vamos precisar garantir que a probabilidade total de encontrar a partícula no intervalo seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar uma função de onda. Em mecânica quântica, a função de onda integral-infty^+infty |psi(x)|^2 , dx = 1 descreve a probabilidade de encontrar uma partícula em uma posição . Para que essa interpretação faça sentido, a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é expresso como:
No nosso caso, como a função está definida apenas no intervalo de a , a integral será apenas nesse intervalo.

Passo 3

Vamos aplicar a condição de normalização à nossa função de onda:
integral0^1 |psi(x)|^2 , dx = 1
Substituindo integral0^1 |A x^2|^2 , dx = 1 :
A^2 integral0^1 x^4 , dx = 1
Como integral0^1 x^4 , dx = [ x^55 ]0^1 = 1^55 - 0^55 = 15 é uma constante real e positiva (já que é uma constante de normalização), podemos simplificar:
A^2 cdot 15 = 1
Agora, vamos calcular a integral:
Então, temos:

Resposta

Resolvendo para A^2 = 5 implies A = raiz5 :
Portanto, a constante de normalização é .

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