Encontre as constantes de normalização para as seguintes funções de onda no intervalo indicado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a constante de normalização para a função de onda dada: no intervalo de . Isso está dentro do estudo da mecânica quântica, especificamente trabalhando com funções de onda. Para normalizar essa função, vamos precisar garantir que a probabilidade total de encontrar a partícula no intervalo seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa normalizar uma função de onda. Em mecânica quântica, a função de onda descreve a probabilidade de encontrar uma partícula em uma posição . Para que essa interpretação faça sentido, a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é expresso como:
No nosso caso, como a função está definida apenas no intervalo de a , a integral será apenas nesse intervalo.

Passo 3

Vamos aplicar a condição de normalização à nossa função de onda:
Substituindo :
Como é uma constante real e positiva (já que é uma constante de normalização), podemos simplificar:
Agora, vamos calcular a integral:
Então, temos:

Resposta

Resolvendo para :
Portanto, a constante de normalização é .

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