Verifique se as seguintes funções de onda são de fato autofunções da equação de Schrödinger e determine seus autovalores de energia. psi(x)=raiz2a sen n pi xa, em que V=0

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função de onda e precisamos verificar se ela é uma autofunção da equação de Schrödinger quando o potencial . Além disso, devemos encontrar os autovalores de energia correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a equação de Schrödinger que vamos usar. Para uma partícula em uma dimensão e sem depender do tempo, a equação é:
-hbar^22m d^2 psidx^2 + V(x) psi = E psi
Como o potencial -hbar^22m d^2 psidx^2 = E psi , a equação simplifica para:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é a energia.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada da função de onda psi(x) = raiz2a sin(n pi xa) :
dpsidx = raiz2a cdot n pia cos(n pi xa)
Primeiro, calculamos a primeira derivada:
d^2 psidx^2 = -raiz2a cdot (n pia)^2 sin(n pi xa) = -(n^2 pi^2a^2) psi(x)
Em seguida, a segunda derivada:

Passo 4

Substituímos a segunda derivada na equação de Schrödinger simplificada:
-hbar^22m (-n^2 pi^2a^2 psi(x)) = E psi(x)
Simplificando os sinais:
hbar^2 n^2 pi^22m a^2 psi(x) = E psi(x)
Isso mostra que a equação está satisfeita, o que confirma que é de fato uma autofunção da equação de Schrödinger para .

Resposta

Os autovalores de energia são dados por:
En = dfracn^2 pi^2 hbar^22 m a^2
onde é um número inteiro positivo, é a massa da partícula, é o comprimento do intervalo considerado, e é a constante de Planck reduzida.

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