Verifique se as seguintes funções de onda são de fato autofunções da equação de Schrödinger e determine seus autovalores de energia. , em que

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função de onda e precisamos verificar se ela é uma autofunção da equação de Schrödinger quando o potencial . Além disso, devemos encontrar os autovalores de energia correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a equação de Schrödinger que vamos usar. Para uma partícula em uma dimensão e sem depender do tempo, a equação é:
Como o potencial , a equação simplifica para:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, e é a energia.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada da função de onda :
Primeiro, calculamos a primeira derivada:
Em seguida, a segunda derivada:

Passo 4

Substituímos a segunda derivada na equação de Schrödinger simplificada:
Simplificando os sinais:
Isso mostra que a equação está satisfeita, o que confirma que é de fato uma autofunção da equação de Schrödinger para .

Resposta

Os autovalores de energia são dados por:
onde é um número inteiro positivo, é a massa da partícula, é o comprimento do intervalo considerado, e é a constante de Planck reduzida.

Exercícios relacionados

Classifique a ligação nos seguintes compostos como predominantemente covalente ou iônica. Represente a estrutura de Lewis.
a) CsBr
Verifique se as seguintes funções de onda são de fato autofunções da equação de Schrödinger e determine seus autovalores de energia. , em que , uma energia potencial constante, e é uma constante
Encontre as constantes de normalização para as seguintes funções de onda no intervalo indicado:
Classifique a ligação nos seguintes compostos como predominantemente covalente ou iônica. Represente a estrutura de Lewis.
e) KI