Encontre a decomposição
das seguintes matrizes:
d)
d)
Passo 1
Vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz
e precisamos encontrar a decomposição
. Isso significa que vamos escrever a matriz
como o produto de duas matrizes:
, que é triangular inferior, e
, que é triangular superior. Para isso, vamos usar o método de decomposição LU, que é uma técnica comum em álgebra linear para simplificar cálculos com matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são as matrizes
e
para uma matriz 2x2. A matriz
será assim:
E a matriz
será:
Note que
tem 1s na diagonal principal e zeros acima dela, enquanto
tem zeros abaixo da diagonal principal.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar
e
para igualar à matriz
:
Vamos igualar isso à matriz
:
Isso nos dá as seguintes equações:
Passo 4
Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de
e
:
- Já sabemos que
e . - Da terceira equação
, substituímos por :
- Agora, da quarta equação
, substituímos e :
Resposta
A decomposição
da matriz dada é: