Encontre a decomposição A=L U das seguintes matrizes:
d) A=(lla & b b & c)

Passo 1

Vamos ver o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz a & b b & c e precisamos encontrar a decomposição . Isso significa que vamos escrever a matriz como o produto de duas matrizes: , que é triangular inferior, e , que é triangular superior. Para isso, vamos usar o método de decomposição LU, que é uma técnica comum em álgebra linear para simplificar cálculos com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são as matrizes L = 1 & 0 l21 & 1 e U = u11 & u12 0 & u22 para uma matriz 2x2. A matriz será assim:
E a matriz será:
Note que tem 1s na diagonal principal e zeros acima dela, enquanto tem zeros abaixo da diagonal principal.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar LU = 1 cdot u11 + 0 cdot 0 & 1 cdot u12 + 0 cdot u22 l21 cdot u11 + 1 cdot 0 & l21 cdot u12 + 1 cdot u22 = u11 & u12 l21u11 & l21u12 + u22 e u11 & u12 l21u11 & l21u12 + u22 = a & b b & c para igualar à matriz :
Vamos igualar isso à matriz :
Isso nos dá as seguintes equações:

Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de l21 cdot a = b implies l21 = ba e ba cdot b + u22 = c implies b^2a + u22 = c implies u22 = c - b^2a :
  1. Já sabemos que e .
  2. Da terceira equação , substituímos por :
  1. Agora, da quarta equação , substituímos e :

Resposta

A decomposição L = 1 & 0 ba & 1 , U = a & b 0 & c - b^2a da matriz dada é:

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