A seguir são apresentadas quatro funções de iteração, as quais serão utilizadas para obter uma aproximação para raiz[3]21 via Método Iterativo Linear utilizando como aproximação inicial x0=1. Ordene essas funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência.
(d) phi4(x)=(21x)^12.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Matemática que trata do Método Iterativo Linear para encontrar uma aproximação de raiz[3]21. A gente começa com um chute inicial, que no caso é x0 = 1, e usa uma das quatro funções de iteração dadas para ir chegando cada vez mais perto do valor exato. A missão é ordenar essas funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência, ou seja, ver qual delas chega mais rápido perto de raiz[3]21.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método Iterativo Linear. Esse método usa uma função phi(x) para gerar uma sequência que, idealmente, se aproxima da raiz que a gente quer encontrar. A cada passo, aplicamos a função no valor anterior:
xn+1 = phi(xn)
A ideia é que, com cada iteração, a gente se aproxima mais da raiz verdadeira.

Passo 3

Agora, para saber qual função de iteração converge mais rápido, a gente precisa olhar para a derivada da função phi(x) no ponto que a gente quer alcançar, que é raiz[3]21. A velocidade de convergência está relacionada ao valor absoluto dessa derivada. Em geral:
  • Se |phi'(r)| < |phi'(s)|, onde r e s são raízes, então phi(x) converge mais rápido para r do que para s.

Passo 4

Vamos focar na função que você enviou, que é a função (d):
phi4(x) = (21x)^12
Para encontrar a derivada dessa função, usamos a regra da cadeia. Vamos lá:
Primeiro, reescrevemos a função:
phi4(x) = (21x)^12 = 21^12 cdot x^-12
Agora, derivando em relação a x:
phi4'(x) = 21^12 cdot (-12) x^-32 = -raiz212 cdot 1x^32

Passo 5

Vamos calcular o valor da derivada no ponto raiz[3]21. Primeiro, calculamos raiz[3]21:
raiz[3]21 approx 2.7589
Agora, substituindo na derivada:
phi4'(raiz[3]21) = -raiz212 cdot 1(raiz[3]21)^32
Simplificando:
(raiz[3]21)^32 = (21^13)^32 = 21^12 = raiz21
Então:
phi4'(raiz[3]21) = -raiz212 cdot 1raiz21 = -12
O valor absoluto é |phi4'(raiz[3]21)| = 12.

Passo 6

Agora, menor valor absoluto da derivada significa maior velocidade de convergência. Então, se compararmos com as outras funções de iteração (que não foram apresentadas aqui, mas em geral teríamos valores diferentes para |phii'(r)|), a função com o menor |phii'(r)| vai convergir mais rápido.

Resposta

Portanto, a função phi4(x)=(21x)^12 converge com uma taxa de 12. Para ordená-las pela velocidade de convergência, aquela com o menor valor absoluto de phi'(r) é a mais rápida. Assim, com base na derivada calculada, podemos posicionar phi4(x) na ordem correta conforme as demais funções forem analisadas.

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