A seguir são apresentadas quatro funções de iteração, as quais serão utilizadas para obter uma aproximação para
via Método Iterativo Linear utilizando como aproximação inicial
. Ordene essas funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência.
©
;
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício onde precisa ordenar quatro funções de iteração segundo a velocidade com que convergem para aproximar
utilizando o Método Iterativo Linear. A gente vai focar na função que é a opção ©:
Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade de convergência é determinada e aplicar isso à função que você forneceu.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade de convergência. No Método Iterativo Linear, a velocidade com que uma sequência de aproximações converge para a raiz depende de um valor chamado fator de convergência, que está relacionado à derivada da função de iteração no ponto fixo (no nosso caso,
).
Basicamente, quanto menor for o valor absoluto da derivada da função no ponto fixo, mais rápida será a convergência. Ou seja, queremos calcular
, onde
, e verificar esse valor para comparar com as outras funções de iteração.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função
. A função dada é:
Para facilitar, vamos simplificar a expressão antes de derivar:
Agora, aplicamos a regra da derivada para
:
Usamos a regra do quociente para derivar a fração:
Onde
e
. Calculando as derivadas:
Substituindo na regra do quociente:
Agora, substituímos isso de volta na derivada de
:
Passo 4
Agora, precisamos avaliar
no ponto fixo
. Vamos substituir
na expressão derivada:
Sabemos que
, então
. Vamos simplificar os termos:
Substituindo esses valores:
Agora, calculamos
:
Então:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, temos
. Isso significa que a derivada da função no ponto fixo é maior que 1, o que indica que a função pode não convergir para a raiz desejada. Na verdade, se
, o método iterativo pode divergir, ou seja, as aproximações não vão se aproximar de
.
Passo 6
Com base nisso, a função
tem uma velocidade de convergência ruim para encontrar
, já que
. Para ordenar as funções de iteração pela velocidade de convergência, precisaríamos calcular
para cada uma das quatro funções. A função com o menor
será a mais rápida na convergência.
Resposta Final: A função
possui
, indicando uma baixa velocidade de convergência para aproximar
utilizando o Método Iterativo Linear.