A seguir são apresentadas quatro funções de iteração, as quais serão utilizadas para obter uma aproximação para raiz[3]21 via Método Iterativo Linear utilizando como aproximação inicial x0=1. Ordene essas funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência.
© phi3(x)=x-x^4-21 xx^2-21

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício onde precisa ordenar quatro funções de iteração segundo a velocidade com que convergem para aproximar phi3(x) = x - x^4 - 21xx^2 - 21 utilizando o Método Iterativo Linear. A gente vai focar na função que é a opção ©:
Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade de convergência é determinada e aplicar isso à função que você forneceu.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade de convergência. No Método Iterativo Linear, a velocidade com que uma sequência de aproximações converge para a raiz depende de um valor chamado fator de convergência, que está relacionado à derivada da função de iteração no ponto fixo (no nosso caso, ).
Basicamente, quanto menor for o valor absoluto da derivada da função no ponto fixo, mais rápida será a convergência. Ou seja, queremos calcular , onde , e verificar esse valor para comparar com as outras funções de iteração.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da função phi3(x) = x - x^4 - 21xx^2 - 21 . A função dada é:
phi3(x) = x - x(x^3 - 21)x^2 - 21
Para facilitar, vamos simplificar a expressão antes de derivar:
phi3'(x) = 1 - ddx(x^4 - 21xx^2 - 21)
Agora, aplicamos a regra da derivada para ddx(uv) = u'v - uv'v^2 :
u' = 4x^3 - 21
Usamos a regra do quociente para derivar a fração:
v' = 2x
Onde ddx(x^4 - 21xx^2 - 21) = (4x^3 - 21)(x^2 - 21) - (x^4 - 21x)(2x)(x^2 - 21)^2 e phi3'(x) = 1 - (4x^3 - 21)(x^2 - 21) - (x^4 - 21x)(2x)(x^2 - 21)^2 . Calculando as derivadas:
Substituindo na regra do quociente:
Agora, substituímos isso de volta na derivada de :

Passo 4

Agora, precisamos avaliar phi3'(r) = 1 - (4r^3 - 21)(r^2 - 21) - (r^4 - 21r)(2r)(r^2 - 21)^2 no ponto fixo 4r^3 - 21 = 4 times 21 - 21 = 84 - 21 = 63 . Vamos substituir r^4 = r^3 times r = 21 times r na expressão derivada:
x^2 - 21 = (raiz[3]21)^2 - 21 = r^2 - 21
Sabemos que phi3'(r) = 1 - 63(r^2 - 21) - (21r - 21r)(2r)(r^2 - 21)^2 , então phi3'(r) = 1 - 63(r^2 - 21)(r^2 - 21)^2 . Vamos simplificar os termos:
phi3'(r) = 1 - 63r^2 - 21
r = raiz[3]21 approx 2.7589
r^2 approx (2.7589)^2 approx 7.609
Substituindo esses valores:
r^2 - 21 approx 7.609 - 21 = -13.391
phi3'(r) = 1 - 63-13.391 approx 1 + 4.705 approx 5.705
Agora, calculamos :
Então:
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, temos . Isso significa que a derivada da função no ponto fixo é maior que 1, o que indica que a função pode não convergir para a raiz desejada. Na verdade, se , o método iterativo pode divergir, ou seja, as aproximações não vão se aproximar de .

Passo 6

Com base nisso, a função tem uma velocidade de convergência ruim para encontrar , já que . Para ordenar as funções de iteração pela velocidade de convergência, precisaríamos calcular para cada uma das quatro funções. A função com o menor será a mais rápida na convergência.
Resposta Final: A função possui , indicando uma baixa velocidade de convergência para aproximar utilizando o Método Iterativo Linear.

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