A seguir são apresentadas quatro funções de iteração, as quais serão utilizadas para obter uma aproximação para via Método Iterativo Linear utilizando como aproximação inicial . Ordene essas funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência.
(c) ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício onde precisa ordenar quatro funções de iteração segundo a velocidade com que convergem para aproximar utilizando o Método Iterativo Linear. A gente vai focar na função que é a opção (c):
Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade de convergência é determinada e aplicar isso à função que você forneceu.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade de convergência. No Método Iterativo Linear, a velocidade com que uma sequência de aproximações converge para a raiz depende de um valor chamado **fator de convergência**, que está relacionado à derivada da função de iteração no ponto fixo (no nosso caso, ).
Basicamente, quanto menor for o valor absoluto da derivada da função no ponto fixo, mais rápida será a convergência. Ou seja, queremos calcular , onde , e verificar esse valor para comparar com as outras funções de iteração.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da função . A função dada é:
Para facilitar, vamos simplificar a expressão antes de derivar:
Agora, aplicamos a regra da derivada para :
Usamos a regra do quociente para derivar a fração:
Onde e . Calculando as derivadas:
Substituindo na regra do quociente:
Agora, substituímos isso de volta na derivada de :
Passo 4
Agora, precisamos avaliar no ponto fixo . Vamos substituir na expressão derivada:
Sabemos que , então . Vamos simplificar os termos:
Substituindo esses valores:
Agora, calculamos :
Então:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, temos . Isso significa que a derivada da função no ponto fixo é maior que 1, o que indica que a função pode não convergir para a raiz desejada. Na verdade, se , o método iterativo pode divergir, ou seja, as aproximações não vão se aproximar de .
Passo 6
Com base nisso, a função tem uma velocidade de convergência ruim para encontrar , já que . Para ordenar as funções de iteração pela velocidade de convergência, precisaríamos calcular para cada uma das quatro funções. A função com o menor será a mais rápida na convergência.
**Resposta Final:** A função possui , indicando uma baixa velocidade de convergência para aproximar utilizando o Método Iterativo Linear.
Resposta
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A seguir são apresentadas quatro funções de iteração, as quais serão utilizadas para obter uma aproximação para via Método Iterativo Linear utilizando como aproximação inicial . Ordene essas funções de iteração de acordo com a velocidade de convergência.
(d) .
Encontre a decomposição das seguintes matrizes:
d)
5. (2,0 pontos) Determine os extremos da funçāo sujeita a restrição
[1 Pontos] Determine o limite , em que
b) (0.25 Pts) ;