Resolva os seguintes itens:
a) Encontre inteiros x, y tais que 95 x+432 y=1.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: precisamos encontrar dois números inteiros, e , que satisfaçam a equação . Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada Algoritmo de Euclides Estendido, que nos ajuda a encontrar esses números quando o máximo divisor comum (mdc) de 95 e 432 é 1.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Algoritmo de Euclides para encontrar o mdc de 432 e 95. Esse algoritmo funciona dividindo os números sucessivamente e pegando os restos até chegar a zero.
432 div 95 = 4 com resto 52 Rightarrow 432 = 95 times 4 + 52

Passo 3

Agora, aplicamos o algoritmo com 95 e 52.
95 div 52 = 1 com resto 43 Rightarrow 95 = 52 times 1 + 43

Passo 4

Continuamos com 52 e 43.
52 div 43 = 1 com resto 9 Rightarrow 52 = 43 times 1 + 9

Passo 5

Mais uma vez, usamos 43 e 9.
43 div 9 = 4 com resto 7 Rightarrow 43 = 9 times 4 + 7

Passo 6

Seguimos com 9 e 7.
9 div 7 = 1 com resto 2 Rightarrow 9 = 7 times 1 + 2

Passo 7

E mais uma vez, com 7 e 2.
7 div 2 = 3 com resto 1 Rightarrow 7 = 2 times 3 + 1

Passo 8

Chegamos ao resto 1, que é o mdc de 432 e 95. Agora, vamos “voltar” os passos para encontrar 1 = 7 - 2 times 3 e 2 = 9 - 7 times 1 Rightarrow 1 = 7 - (9 - 7) times 3 = 4 times 7 - 3 times 9 .
Começamos com a última equação:
7 = 43 - 9 times 4 Rightarrow 1 = 4 times (43 - 9 times 4) - 3 times 9 = 4 times 43 - 19 times 9
Substituímos 2 da equação anterior:
9 = 52 - 43 times 1 Rightarrow 1 = 4 times 43 - 19 times (52 - 43) = 23 times 43 - 19 times 52
Agora, substituímos 7:
43 = 95 - 52 times 1 Rightarrow 1 = 23 times (95 - 52) - 19 times 52 = 23 times 95 - 42 times 52
Substituímos 9:
52 = 432 - 95 times 4 Rightarrow 1 = 23 times 95 - 42 times (432 - 95 times 4) = 191 times 95 - 42 times 432
Substituímos 43:
Finalmente, substituímos 52:

Resposta

Um par de soluções inteiras que satisfazem a equação é e .

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