Encontre uma equação relacionando e que faça com que o sistema abaixo possua pelo menos uma solução:
(Sugestão: Tente escalonar a matriz associada ao sistema.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações com três variáveis e . A pergunta é: qual a relação entre e que garante que esse sistema tenha pelo menos uma solução? Para resolver isso, vamos usar o método da eliminação de Gauss (também conhecido como escalonamento de matrizes). Esse método ajuda a simplificar o sistema para descobrir se ele é consistente (tem solução) ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde possamos facilmente ver se há alguma contradição. Vamos começar eliminando o da terceira equação. Para isso, vamos adicionar 2 vezes a primeira linha à terceira linha:
Calculando isso:
Então, a matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos somar a segunda linha à terceira linha para eliminar o da terceira equação:
Calculando:
A matriz agora fica:
Passo 5
Observamos que a terceira linha resultou em:
Isso simplifica para:
Passo 6
Para que o sistema seja consistente e tenha pelo menos uma solução, essa equação deve ser verdadeira. Se não for, teríamos uma contradição ú, o que significa que o sistema não teria solução.
Passo 7
Portanto, a relação que e devem satisfazer para que o sistema tenha pelo menos uma solução é:
Resposta
A equação que relaciona e para que o sistema tenha pelo menos uma solução é .