Encontre uma equação relacionando a, b e c que faça com que o sistema abaixo possua pelo menos uma solução:
x1-4 x2+7 x3 & =a +3 x2-5 x3 & =b -2 x1+5 x2-9 x3 & =c
(Sugestão: Tente escalonar a matriz associada ao sistema.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações com três variáveis e . A pergunta é: qual a relação entre e que garante que esse sistema tenha pelo menos uma solução? Para resolver isso, vamos usar o método da eliminação de Gauss (também conhecido como escalonamento de matrizes). Esse método ajuda a simplificar o sistema para descobrir se ele é consistente (tem solução) ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
1 & -4 & 7 & | & a 0 & 3 & -5 & | & b -2 & 5 & -9 & | & c

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde possamos facilmente ver se há alguma contradição. Vamos começar eliminando o Linha 3 = Linha 3 + 2 times Linha 1 da terceira equação. Para isso, vamos adicionar 2 vezes a primeira linha à terceira linha:
-2 + 2 times 1 = 0 5 + 2 times (-4) = 5 - 8 = -3 -9 + 2 times 7 = -9 + 14 = 5 c + 2 times a = c + 2a
Calculando isso:
1 & -4 & 7 & | & a 0 & 3 & -5 & | & b 0 & -3 & 5 & | & c + 2a
Então, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos somar a segunda linha à terceira linha para eliminar o Linha 3 = Linha 3 + Linha 2 da terceira equação:
0 + 0 = 0 -3 + 3 = 0 5 + (-5) = 0 c + 2a + b = c + 2a + b
Calculando:
1 & -4 & 7 & | & a 0 & 3 & -5 & | & b 0 & 0 & 0 & | & c + 2a + b
A matriz agora fica:

Passo 5

Observamos que a terceira linha resultou em:
0x1 + 0x2 + 0x3 = c + 2a + b
Isso simplifica para:
0 = c + 2a + b

Passo 6

Para que o sistema seja consistente e tenha pelo menos uma solução, essa equação deve ser verdadeira. Se não for, teríamos uma contradição ú, o que significa que o sistema não teria solução.

Passo 7

Portanto, a relação que c + 2a + b = 0 e devem satisfazer para que o sistema tenha pelo menos uma solução é:

Resposta

A equação que relaciona e para que o sistema tenha pelo menos uma solução é .

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