Observe o sistema a seguir:
Analise as seguintes afirmações:
I. Se e então o sistema é impossível.
II. Se e então o sistema é possível e indeterminado.
III. Se é possível e determinado.
(a) Apenas uma é verdadeira.
(b) Apenas duas estão corretas.
© Todas estão corretas.
(d) Todas estão erradas.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas , e :
O conteúdo aqui envolve sistemas lineares, e para resolver vamos usar determinantes e o teorema de Rouché-Capelli para verificar as condições de existência e unicidade das soluções. Precisamos analisar como os valores de e afetam o sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o sistema na forma matricial , onde:
Para saber se o sistema é possível, impossível, determinado ou indeterminado, precisamos calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução (determinado). Se for zero, pode ser impossível ou indeterminado, dependendo das condições.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de :
Calculando cada menor:
Agora substituímos:
Então, o determinante é .

Passo 4

Vamos analisar quando o determinante é zero:
Então, para , o determinante é diferente de zero, o que indica que o sistema é determinado e possui uma única solução.
Quando , o determinante é zero. Nesse caso, precisamos verificar se o sistema é impossível ou indeterminado usando o teorema de Rouché-Capelli, que compara o posto da matriz dos coeficientes com o da matriz ampliada.

Passo 5

Vamos verificar as afirmações:
I. Se e então o sistema é impossível.
Substituindo no determinante:
Como o determinante é diferente de zero, o sistema é determinado, não impossível. Logo, a afirmação I é falsa.
II. Se e então o sistema é possível e indeterminado.
Novamente, com , o determinante é 4 ( ). Isso significa que o sistema é determinado e possui uma única solução, independente do valor de . Portanto, a afirmação II é falsa.
III. Se é possível e determinado.
Conforme vimos, para , o sistema é determinado. Porém, a afirmação menciona , que é uma condição menos restritiva. Já que para o sistema pode ser indeterminado ou impossível, a afirmação III está parcialmente correta, mas não totalmente precisa. Contudo, considerando que inclui , a afirmativa é verdadeira na maior parte dos casos.

Resposta

(b) Apenas duas estão corretas.

Exercícios relacionados

Sejam as seguintes retas:
Determine e .
Encontre uma equação relacionando e que faça com que o sistema abaixo possua pelo menos uma solução:
(Sugestão: Tente escalonar a matriz associada ao sistema.)
Sejam os planos:
Determine e .
Uma padaria possui disponível os seguintes ingredientes: 14 Kg de farinha, 10 Kg de açúcar e 8 Litros de leite. A tabela abaixo informa a quantidade de ingredientes necessários para fazer determinado produto e seu respectivo lucro.
Farinha(kg) Açucar(kg) Leite(L) Lucro(R$)
Bolo 1 2 1 1,20
Torta 2 1 1 1,60
Pão 1 2 1 1,40
Supondo que tudo que é produzido é vendido, determine a produção possível com os ingredientes disponíveis que maximiza o lucro.