Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de três equações com três incógnitas m x + 2 y + 2 z = n 2 x + y + 2 z = 3 2 m x - y + 2 z = 1 , e :
O conteúdo aqui envolve sistemas lineares, e para resolver vamos usar determinantes e o teorema de Rouché-Capelli para verificar as condições de existência e unicidade das soluções. Precisamos analisar como os valores de e afetam o sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o sistema na forma matricial A = m & 2 & 2 2 & 1 & 2 2m & -1 & 2 , b = n 3 1 , onde:
Para saber se o sistema é possível, impossível, determinado ou indeterminado, precisamos calcular o determinante da matriz . Se o determinante for diferente de zero, o sistema tem uma única solução (determinado). Se for zero, pode ser impossível ou indeterminado, dependendo das condições.
1 & 2 -1 & 2 = (1 times 2) - (-1 times 2) = 2 + 2 = 4
Calculando cada menor:
2 & 2 2m & 2 = (2 times 2) - (2m times 2) = 4 - 4m
2 & 1 2m & -1 = (2 times -1) - (2m times 1) = -2 - 2m = -2(1 + m)
det(A) = m times 4 - 2 times (4 - 4m) + 2 times (-2 - 2m)
Agora substituímos:
= 4m - 8 + 8m - 4 - 4m
= (4m + 8m - 4m) + (-8 - 4)
= 8m - 12
Então, o determinante é .
Passo 4
Vamos analisar quando o determinante é zero:
8m - 12 = 0 implies m = 128 = 32
Então, para , o determinante é diferente de zero, o que indica que o sistema é determinado e possui uma única solução.
Quando , o determinante é zero. Nesse caso, precisamos verificar se o sistema é impossível ou indeterminado usando o teorema de Rouché-Capelli, que compara o posto da matriz dos coeficientes com o da matriz ampliada.
Passo 5
Vamos verificar as afirmações:
I. Se det(A) = 8 times 2 - 12 = 16 - 12 = 4 neq 0 e então o sistema é impossível.
Substituindo no determinante:
Como o determinante é diferente de zero, o sistema é determinado, não impossível. Logo, a afirmação I é falsa.
II. Se e então o sistema é possível e indeterminado.
Novamente, com , o determinante é 4 (). Isso significa que o sistema é determinado e possui uma única solução, independente do valor de . Portanto, a afirmação II é falsa.
III. Se é possível e determinado.
Conforme vimos, para , o sistema é determinado. Porém, a afirmação menciona , que é uma condição menos restritiva. Já que para o sistema pode ser indeterminado ou impossível, a afirmação III está parcialmente correta, mas não totalmente precisa. Contudo, considerando que inclui , a afirmativa é verdadeira na maior parte dos casos.