Sejam as seguintes retas:
Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos de interseção entre três retas dadas pelas equações:
Matéria envolvida: Geometria Analítica, mais especificamente o estudo de retas no plano cartesiano e a resolução de sistemas lineares para encontrar pontos de interseção.
O que vamos precisar: Para encontrar os pontos de interseção entre duas retas, precisamos resolver o sistema formado pelas duas equações dessas retas. Isso pode ser feito por métodos como substituição, adição ou matrizes. Vamos utilizar o método de adição (também conhecido como método de eliminação) para facilitar os cálculos.
Passo 2
Vamos encontrar a interseção entre as retas
e
.
Temos o sistema:
Teoria aplicada: Para resolver esse sistema, podemos eliminar uma das variáveis adicionando ou subtraindo as equações. Aqui, vamos eliminar
subtraindo a equação (2) da equação (1).
Subtraindo (2) de (1):
Simplificando:
Agora, substituímos
na equação (2) para encontrar
:
Portanto, o ponto de interseção
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a interseção entre as retas
e
.
Temos o sistema:
Teoria aplicada: Novamente, usaremos o método de adição para eliminar uma variável. Vamos multiplicar a equação (1) por 2 para alinhar os coeficientes de
:
Agora, subtraímos a equação (3) da equação (1a):
Substituindo
na equação (1):
Portanto, o ponto de interseção
é
.
Passo 4
Por fim, vamos encontrar a interseção entre as retas
e
.
Temos o sistema:
Teoria aplicada: Vamos usar o método de substituição desta vez. Primeiro, isolamos
na equação (2):
Agora, substituímos
na equação (3):
Substituindo
na equação (2a):
Portanto, o ponto de interseção
é
.
Resposta
Os pontos de interseção são: