Sejam as seguintes retas:
cc r1: & x1+5 x2=7 r2: & x1-2 x2=-2 r3: & 2 x1+3 x2=3
Determine r1 cap r2, r1 cap r3 e r2 cap r3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos de interseção entre três retas dadas pelas equações:
cc r1: & x1 + 5 x2 = 7 r2: & x1 - 2 x2 = -2 r3: & 2 x1 + 3 x2 = 3
Matéria envolvida: Geometria Analítica, mais especificamente o estudo de retas no plano cartesiano e a resolução de sistemas lineares para encontrar pontos de interseção.
O que vamos precisar: Para encontrar os pontos de interseção entre duas retas, precisamos resolver o sistema formado pelas duas equações dessas retas. Isso pode ser feito por métodos como substituição, adição ou matrizes. Vamos utilizar o método de adição (também conhecido como método de eliminação) para facilitar os cálculos.

Passo 2

Vamos encontrar a interseção entre as retas x1 + 5 x2 = 7 (1) x1 - 2 x2 = -2 (2) e (x1 + 5x2) - (x1 - 2x2) = 7 - (-2) .
Temos o sistema:
x1 + 5x2 - x1 + 2x2 = 9 7x2 = 9 x2 = 97
Teoria aplicada: Para resolver esse sistema, podemos eliminar uma das variáveis adicionando ou subtraindo as equações. Aqui, vamos eliminar x1 - 2(97) = -2 x1 - 187 = -2 x1 = -2 + 187 x1 = -147 + 187 x1 = 47 subtraindo a equação (2) da equação (1).
Subtraindo (2) de (1):
Simplificando:
Agora, substituímos na equação (2) para encontrar :
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a interseção entre as retas x1 + 5 x2 = 7 (1) 2 x1 + 3 x2 = 3 (3) e 2(x1 + 5x2) = 2 times 7 2x1 + 10x2 = 14 (1a) .
Temos o sistema:
(2x1 + 10x2) - (2x1 + 3x2) = 14 - 3 7x2 = 11 x2 = 117
Teoria aplicada: Novamente, usaremos o método de adição para eliminar uma variável. Vamos multiplicar a equação (1) por 2 para alinhar os coeficientes de x1 + 5(117) = 7 x1 + 557 = 7 x1 = 7 - 557 x1 = 497 - 557 x1 = -67 :
Agora, subtraímos a equação (3) da equação (1a):
Substituindo na equação (1):
Portanto, o ponto de interseção é .

Passo 4

Por fim, vamos encontrar a interseção entre as retas x1 - 2 x2 = -2 (2) 2 x1 + 3 x2 = 3 (3) e x1 = -2 + 2x2 (2a) .
Temos o sistema:
2(-2 + 2x2) + 3x2 = 3 -4 + 4x2 + 3x2 = 3 7x2 = 7 x2 = 1
Teoria aplicada: Vamos usar o método de substituição desta vez. Primeiro, isolamos x1 = -2 + 2(1) x1 = -2 + 2 x1 = 0 na equação (2):
Agora, substituímos na equação (3):
Substituindo na equação (2a):
Portanto, o ponto de interseção é .

Resposta

Os pontos de interseção são:

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