Seja g(x)=|x-1|+|x-2|.
Para que valores de x obtemos g(x)=1 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar os valores de que satisfazem a equação , onde . Para isso, vamos usar conceitos de valor absoluto e resolver a equação passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . O valor absoluto representa a distância de até o ponto na reta numérica. Então, é a distância de a 1, e é a distância de a 2.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar |x - 1| + |x - 2| = 1 tal que a soma dessas duas distâncias seja igual a 1:
Para resolver isso, vamos considerar diferentes intervalos de para eliminar os valores absolutos.

Passo 4

Caso 1: |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x
Nesse intervalo, tanto |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x quanto 1 - x + 2 - x = 1 implies 3 - 2x = 1 implies 2x = 2 implies x = 1 são negativos. Então:
Substituindo na equação:
Mas não está no intervalo , então não há solução nesse caso.

Passo 5

Caso 2: |x - 1| = x - 1
Aqui, |x - 2| = 2 - x é positivo ou zero, e x - 1 + 2 - x = 1 implies 1 = 1 é negativo. Então:
Substituindo na equação:
Isso significa que todos os valores de nesse intervalo satisfazem a equação.

Passo 6

Caso 3: |x - 1| = x - 1
Nesse caso, tanto |x - 2| = x - 2 quanto x - 1 + x - 2 = 1 implies 2x - 3 = 1 implies 2x = 4 implies x = 2 são positivos ou zero. Assim:
Substituindo na equação:
Verificamos que está no intervalo , então é uma solução válida.

Resposta

Os valores de que satisfazem são todos os números no intervalo . Em outras palavras, pertence a .

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