Verifique se existe e é único o polinômio interpolador de grau 2 que cumpre as seguintes condições:
. Dica: resolva este exercício usando a técnica de obter o polinômio através da resolução de um sistema linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer saber se existe um polinômio de grau 2 que atenda a três condições específicas:
,
e
. Para isso, vamos usar a técnica de resolver um sistema linear, que basicamente é um conjunto de equações que vamos resolver para encontrar os coeficientes do polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
Aqui,
,
e
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições que o polinômio precisa satisfazer para montar nosso sistema de equações.
-
Condição
:
Substituindona equação do polinômio: -
Condição
:
Substituindo: Já sabemos que, então: -
Condição
:
Primeiro, vamos encontrar a derivada do polinômio:Agora, substituindo:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Observamos que as duas equações são:
Isso é impossível, porque a mesma soma
não pode ser igual a 1 e 2 ao mesmo tempo.
Resposta
Não existe um polinômio de grau 2 que satisfaça as condições
,
e
.
Exercícios relacionados
Sabendo que a equação
admite uma raiz no intervalo [0, 1
, determine o valor desta raiz usando interpolação quadrática, escolhendo convenientemente três pontos
no intervalo
.
Encontre a função polinomial por partes
que é definida pelas condições:
é linear,
é quadrática
e
são contínuas em
,
e
.
Obtenha o polinômio na forma de Newton que passa por todos os pontos da tabela abaixo:
|
1 |
|
0 | 2 |
---|---|---|---|---|
|
2 | 6 | 0 | 14 |
Em um processo de interpolação linear por partes dividimos um intervalo
em
subintervalos de igual comprimento e, dentro de cada subintervalo, aproximamos
por um polinômio de grau 1 (uma reta). Considere o problema de construir uma tabela que contenha valores de
para pontos igualmente espaçados no intervalo
. Qual deve ser o menor número de pontos dessa tabela para que a interpolação linear por partes de
tenha erro absoluto menor que
para qualquer
? Dica: trabalhe com a fórmula do erro absoluto
dentro de um subintervalo genérico
e use o fato de que
para
.