Verifique se existe e é único o polinômio interpolador de grau 2 que cumpre as seguintes condições: . Dica: resolva este exercício usando a técnica de obter o polinômio através da resolução de um sistema linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer saber se existe um polinômio de grau 2 que atenda a três condições específicas: , e . Para isso, vamos usar a técnica de resolver um sistema linear, que basicamente é um conjunto de equações que vamos resolver para encontrar os coeficientes do polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
Aqui, , e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições que o polinômio precisa satisfazer para montar nosso sistema de equações.
  1. Condição :
    Substituindo na equação do polinômio:
  2. Condição :
    Substituindo :
    Já sabemos que , então:
  3. Condição :
    Primeiro, vamos encontrar a derivada do polinômio:
    Agora, substituindo :

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Observamos que as duas equações são:
Isso é impossível, porque a mesma soma não pode ser igual a 1 e 2 ao mesmo tempo.

Resposta

Não existe um polinômio de grau 2 que satisfaça as condições , e .

Exercícios relacionados

Sabendo que a equação admite uma raiz no intervalo [0, 1 , determine o valor desta raiz usando interpolação quadrática, escolhendo convenientemente três pontos no intervalo .
Encontre a função polinomial por partes
que é definida pelas condições:
é linear,
é quadrática
e são contínuas em ,
e .
Obtenha o polinômio na forma de Newton que passa por todos os pontos da tabela abaixo:
1 0 2
2 6 0 14
Em um processo de interpolação linear por partes dividimos um intervalo em subintervalos de igual comprimento e, dentro de cada subintervalo, aproximamos por um polinômio de grau 1 (uma reta). Considere o problema de construir uma tabela que contenha valores de para pontos igualmente espaçados no intervalo . Qual deve ser o menor número de pontos dessa tabela para que a interpolação linear por partes de tenha erro absoluto menor que para qualquer ? Dica: trabalhe com a fórmula do erro absoluto dentro de um subintervalo genérico e use o fato de que para .