Verifique se existe e é único o polinômio interpolador de grau 2 que cumpre as seguintes condições: p(0)=0, p(1)=1, p^prime(0.5)=2. Dica: resolva este exercício usando a técnica de obter o polinômio através da resolução de um sistema linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer saber se existe um polinômio de grau 2 que atenda a três condições específicas: , e . Para isso, vamos usar a técnica de resolver um sistema linear, que basicamente é um conjunto de equações que vamos resolver para encontrar os coeficientes do polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
p(x) = ax^2 + bx + c
Aqui, , e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar as condições que o polinômio precisa satisfazer para montar nosso sistema de equações.
  1. Condição 0 = a(0)^2 + b(0) + c Rightarrow c = 0 :
    Substituindo 1 = a(1)^2 + b(1) + c Rightarrow a + b + c = 1 na equação do polinômio:
    a + b = 1
  2. Condição p'(x) = 2ax + b :
    Substituindo 2 = 2a(0.5) + b Rightarrow a + b = 2 :
    Já sabemos que , então:
  3. Condição :
    Primeiro, vamos encontrar a derivada do polinômio:
    Agora, substituindo :

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + b = 1 a + b = 2
Observamos que as duas equações são:
a + b = 1 e a + b = 2
Isso é impossível, porque a mesma soma não pode ser igual a 1 e 2 ao mesmo tempo.

Resposta

Não existe um polinômio de grau 2 que satisfaça as condições , e .

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