Verifique se existe e é único o polinômio interpolador de grau 2 que cumpre as seguintes condições:
. Dica: resolva este exercício usando a técnica de obter o polinômio através da resolução de um sistema linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão quer saber se existe um polinômio de grau 2 que atenda a três condições específicas:
,
e
. Para isso, vamos usar a técnica de resolver um sistema linear, que basicamente é um conjunto de equações que vamos resolver para encontrar os coeficientes do polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
Aqui,
,
e
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos aplicar as condições que o polinômio precisa satisfazer para montar nosso sistema de equações.
-
Condição
:
Substituindona equação do polinômio: -
Condição
:
Substituindo: Já sabemos que, então: -
Condição
:
Primeiro, vamos encontrar a derivada do polinômio:Agora, substituindo:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Observamos que as duas equações são:
Isso é impossível, porque a mesma soma
não pode ser igual a 1 e 2 ao mesmo tempo.
Resposta
Não existe um polinômio de grau 2 que satisfaça as condições
,
e
.