Encontre
na direção
para os itens (f) e (g) do exercício anterior.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para encontrarmos a derivada parcial de
na direção do vetor
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais. Vamos precisar calcular o gradiente de
e usar a direção do vetor
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente de
, que é um vetor com as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, o gradiente é:
Passo 3
Agora, precisamos normalizar o vetor
para obter um vetor unitário na mesma direção. A fórmula para normalizar é:
Onde
é a norma de
:
Então,
Passo 4
A derivada direcional de
na direção de
é o produto escalar do gradiente de
pelo vetor unitário
:
Substituindo os valores:
Resposta
A derivada parcial de
na direção
é:
Exercícios relacionados
Encontre
na direção
para os itens de (a) até (e) do exercício anterior.
Encontre o gradiente das funções abaixo:
Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em
Encontre o gradiente das funções abaixo: