Encontre na direção para os itens (f) e (g) do exercício anterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para encontrarmos a derivada parcial de na direção do vetor . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais. Vamos precisar calcular o gradiente de e usar a direção do vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente de , que é um vetor com as derivadas parciais de em relação a , e .
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, o gradiente é:

Passo 3

Agora, precisamos normalizar o vetor para obter um vetor unitário na mesma direção. A fórmula para normalizar é:
Onde é a norma de :
Então,

Passo 4

A derivada direcional de na direção de é o produto escalar do gradiente de pelo vetor unitário :
Substituindo os valores:

Resposta

A derivada parcial de na direção é:

Exercícios relacionados

Encontre na direção para os itens de (a) até (e) do exercício anterior.
Encontre o gradiente das funções abaixo:
Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em
Encontre o gradiente das funções abaixo: