Encontre partial fpartial u(x, y, z) na direção u=(1,2,2) para os itens (f) e (g) do exercício anterior.
f(x, y, z)=x^y+y^z+z^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para encontrarmos a derivada parcial de na direção do vetor . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais. Vamos precisar calcular o gradiente de e usar a direção do vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente de nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) , que é um vetor com as derivadas parciais de partial fpartial x = y cdot x^y-1 + z^x cdot ln(z) em relação a partial fpartial y = x^y cdot ln(x) + z cdot y^z-1 , partial fpartial z = y^z cdot ln(y) + x cdot z^x-1 e nabla f = ( yx^y-1 + z^xln(z), x^yln(x) + zy^z-1, y^zln(y) + xz^x-1 ) .
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, o gradiente é:

Passo 3

Agora, precisamos normalizar o vetor uunit = u|u| para obter um vetor unitário na mesma direção. A fórmula para normalizar é:
|u| = raiz1^2 + 2^2 + 2^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3
Onde uunit = ( 13, 23, 23 ) é a norma de :
Então,

Passo 4

A derivada direcional de partial fpartial u = nabla f cdot uunit na direção de partial fpartial u = ( yx^y-1 + z^xln(z) ) cdot 13 + ( x^yln(x) + zy^z-1 ) cdot 23 + ( y^zln(y) + xz^x-1 ) cdot 23 é o produto escalar do gradiente de pelo vetor unitário :
Substituindo os valores:

Resposta

A derivada parcial de partial fpartial u = 13 ( yx^y-1 + z^xln(z) ) + 23 ( x^yln(x) + zy^z-1 ) + 23 ( y^zln(y) + xz^x-1 ) na direção é:

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