Encontre o gradiente das funções abaixo:
f(x, y)= tgy -2 cos x seny

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o gradiente da função . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, onde vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar o gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Em outras palavras, se temos nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) , o gradiente é dado por:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x ( tan y - 2 cos x sin y ) em relação a partial fpartial x = -2 partialpartial x (cos x sin y) = -2 (-sin x) sin y = 2 sin x sin y . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a :
Como não depende de , sua derivada em relação a é zero. Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y ( tan y - 2 cos x sin y ) em relação a partial fpartial y = sec^2 y - 2 cos x cos y . Aqui, tratamos como uma constante:
A derivada de em relação a é e a derivada de é . Então:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos montar o vetor gradiente:
nabla f = ( 2 sin x sin y, sec^2 y - 2 cos x cos y )

Resposta

O gradiente da função nabla f = ( 2 sin x sin y, sec^2 y - 2 cos x cos y ) é:

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