Encontre o gradiente das funções abaixo:
f(x, y)=x^3+cos x y-ln y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função . Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais. O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função e é formado pelas derivadas parciais em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x(x^3) + partialpartial x(cos(x) cdot y) - partialpartial x(ln(y)) em relação a partial fpartial x = 3x^2 - y cdot sin(x) , que é .
Agora, calculando cada termo:
  1. (usamos a regra do poder)
  2. (derivada de é , e é constante)
  3. (já que é tratado como constante em relação a )
Então, juntando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = partialpartial y(x^3) + partialpartial y(cos(x) cdot y) - partialpartial y(ln(y)) em relação a partial fpartial y = cos(x) - 1y , que é .
Calculando cada termo:
  1. (já que é constante em relação a )
  2. (derivada de é 1, e é constante)
  3. (derivada do logaritmo natural)
Então, juntando tudo:

Resposta

O gradiente da função nabla f(x, y) = ( 3x^2 - y cdot sin(x), cos(x) - dfrac1y ) é:

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