Encontre o gradiente das funções abaixo:

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar o gradiente da função . O gradiente é basicamente um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e . Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra do produto e saber como derivar funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é .
A função é . Para derivar isso em relação a , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então:
Calculando cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Agora, substituímos de volta na expressão:
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é .
Novamente, a função é . Aqui, é uma constante em relação a , então a derivada fica mais simples.
E a derivada de em relação a é:
Então:

Resposta

O gradiente da função é dado por:

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo. A seguir, estude o sinal dessas funções, isto é, diga para quais valores de expressão é positiva, negativa ou nula. Após isso, calcule para quais valores a função é crescente ou decrescente.
Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo. A seguir, estude o sinal dessas funções, isto é, diga para quais valores de expressão é positiva, negativa ou nula. Após isso, calcule para quais valores a função é crescente ou decrescente.
Encontre o gradiente das funções abaixo:
Encontre o gradiente das funções abaixo:
tgy seny