Encontre o gradiente das funções abaixo:
f(x, y)=x^2 cdot e^x y

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar o gradiente da função . O gradiente é basicamente um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a e . Para resolver isso, vamos precisar usar regras de derivação como a regra do produto e saber como derivar funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x = partialpartial x (x^2) cdot e^x y + x^2 cdot partialpartial x e^x y em relação a partialpartial x (x^2) = 2x , que é partialpartial x e^x y = y cdot e^x y .
A função é partial fpartial x = 2x cdot e^x y + x^2 cdot y cdot e^x y . Para derivar isso em relação a partial fpartial x = e^x y (2x + x^2 y) , usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então:
Calculando cada parte:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
Agora, substituímos de volta na expressão:
Podemos fatorar para simplificar:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y = x^2 cdot partialpartial y e^x y em relação a partialpartial y e^x y = x cdot e^x y , que é partial fpartial y = x^2 cdot x cdot e^x y = x^3 cdot e^x y .
Novamente, a função é . Aqui, é uma constante em relação a , então a derivada fica mais simples.
E a derivada de em relação a é:
Então:

Resposta

O gradiente da função nabla f(x, y) = ( e^x y (2x + x^2 y), x^3 e^x y ) é dado por:

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