Encontre o gradiente das funções abaixo:
f(x, y, z)=x^y+y^z+z^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o gradiente da função . Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, mais especificamente trabalhando com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis: , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que contém todas as suas derivadas parciais. No nosso caso, o gradiente de nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) será um vetor formado por , e . Ou seja:

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada parcial de f(x, y, z) = x^y + y^z + z^x em relação a partialpartial x x^y = y cdot x^y - 1 , ou seja, partialpartial x z^x = z^x cdot ln(z) .
Temos:
partial fpartial x = y cdot x^y - 1 + 0 + z^x ln(z) = y cdot x^y - 1 + z^x ln(z)
Ao derivar em relação a , tratamos e como constantes. A derivada de em relação a é:
A derivada de em relação a é zero, já que não há nessa parte da função. Agora, para , usamos a regra da derivada de uma função exponencial onde a base é uma constante e o expoente é :
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y, z) = x^y + y^z + z^x em relação a partialpartial y x^y = x^y cdot ln(x) , ou seja, partialpartial y y^z = z cdot y^z - 1 .
Novamente, temos:
partialpartial y z^x = 0
Derivando em relação a partial fpartial y = x^y ln(x) + z cdot y^z - 1 + 0 = x^y ln(x) + z cdot y^z - 1 :
Portanto:

Passo 5

Por fim, vamos calcular a derivada parcial de f(x, y, z) = x^y + y^z + z^x em relação a partialpartial z x^y = 0 , ou seja, partialpartial z y^z = y^z ln(y) .
Continuando com:
partialpartial z z^x = x cdot z^x - 1
Derivando em relação a partial fpartial z = 0 + y^z ln(y) + x cdot z^x - 1 = y^z ln(y) + x cdot z^x - 1 :
Assim, temos:

Resposta

Juntando todas as derivadas parciais, o gradiente da função nabla f = ( y cdot x^y - 1 + z^x ln(z), x^y ln(x) + z cdot y^z - 1, y^z ln(y) + x cdot z^x - 1 ) é:

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