Encontre o gradiente das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o gradiente da função
. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Multivariável, mais especificamente trabalhando com derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis:
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que contém todas as suas derivadas parciais. No nosso caso, o gradiente de
será um vetor formado por
,
e
. Ou seja:
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Temos:
Ao derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes. A derivada de
em relação a
é:
A derivada de
em relação a
é zero, já que não há
nessa parte da função. Agora, para
, usamos a regra da derivada de uma função exponencial onde a base é uma constante e o expoente é
:
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, temos:
Derivando em relação a
:
Portanto:
Passo 5
Por fim, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Continuando com:
Derivando em relação a
:
Assim, temos:
Resposta
Juntando todas as derivadas parciais, o gradiente da função
é: