Encontre o gradiente das funções abaixo:
f(x, y)=(x+y)^5-e^x^2

Passo 1

Beleza! A gente tem que encontrar o gradiente da função . O gradiente é basicamente um vetor que mostra como a função muda em cada direção, ou seja, as derivadas parciais em relação a e . Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções polinomiais e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial x = 5(x + y)^4 - 2x e^x^2 em relação a , que chamamos de . Isso significa que tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .
A função é .
Para a primeira parte, , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a , onde , é . Como , ficamos com .
Para a segunda parte, , a derivada é , novamente usando a regra da cadeia.
Então, a derivada parcial em relação a fica:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial fpartial y = 5(x + y)^4 em relação a , que é . Aqui, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .
A função continua sendo .
Para a primeira parte, , aplicamos a regra da potência diretamente, já que está apenas somando com . A derivada é .
Para a segunda parte, , como não há nessa parte, a derivada em relação a é zero.
Portanto, a derivada parcial em relação a fica:

Resposta

O gradiente da função é dado por:
nabla f(x, y) = (5(x + y)^4 - 2x e^x^2, 5(x + y)^4)

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