Encontre o gradiente das funções abaixo:
Passo 1
Beleza! A gente tem que encontrar o gradiente da função
. O gradiente é basicamente um vetor que mostra como a função muda em cada direção, ou seja, as derivadas parciais em relação a
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada de funções polinomiais e exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. Isso significa que tratamos
como uma constante e diferenciamos em relação a
.
A função é
.
Para a primeira parte,
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
, onde
, é
. Como
, ficamos com
.
Para a segunda parte,
, a derivada é
, novamente usando a regra da cadeia.
Então, a derivada parcial em relação a
fica:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que é
. Aqui, tratamos
como uma constante e diferenciamos em relação a
.
A função continua sendo
.
Para a primeira parte,
, aplicamos a regra da potência diretamente, já que
está apenas somando com
. A derivada é
.
Para a segunda parte,
, como não há
nessa parte, a derivada em relação a
é zero.
Portanto, a derivada parcial em relação a
fica:
Resposta
O gradiente da função é dado por:
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tgy
seny
Encontre o gradiente das funções abaixo:
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Encontre
na direção
para os itens de (a) até (e) do exercício anterior.