Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo. A seguir, estude o sinal dessas funções, isto é, diga para quais valores de expressão é positiva, negativa ou nula. Após isso, calcule para quais valores a função é crescente ou decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função . Depois disso, vamos ver para quais valores de ela é positiva, negativa ou igual a zero. E por último, vamos descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, análise de sinais e derivadas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . Essa é uma função quadrática, pois a maior potência de é 2. Funções quadráticas têm gráficos em forma de parábola.

Passo 3

Vamos expandir a função para facilitar a análise:
Agora, temos .

Passo 4

Para esboçar o gráfico, precisamos encontrar o vértice da parábola. A fórmula para o coordenada do vértice é:
Aqui, e , então:
Agora, encontramos o do vértice substituindo na função:
Então, o vértice é .

Passo 5

Sabendo que , a parábola abre para cima. Isso significa que o vértice é o ponto mais baixo do gráfico.

Passo 6

Para encontrar onde a função cruza o eixo (raízes), resolvemos :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são e .

Passo 7

Agora, vamos analisar o sinal da função. Sabemos que a parábola abre para cima e o vértice está em . Então:
  • Para ,
  • Entre e ,
  • Para ,

Passo 8

Por fim, vamos ver onde a função está crescendo ou diminuindo. Para isso, usamos a derivada:
Igualando a zero para encontrar pontos críticos:
Então:
  • Para , , a função está decrescendo
  • Para , , a função está crescendo

Resposta

A função tem o gráfico de uma parábola com vértice em , abertos para cima. Ela é positiva para e , negativa entre esses valores, e igual a zero em . A função está decrescendo para e crescendo para .

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Encontre o gradiente das funções abaixo:
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