Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo. A seguir, estude o sinal dessas funções, isto é, diga para quais valores de expressão
é positiva, negativa ou nula. Após isso, calcule para quais valores a função é crescente ou decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função
. Depois disso, vamos ver para quais valores de
ela é positiva, negativa ou igual a zero. E por último, vamos descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, análise de sinais e derivadas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
. Essa é uma função quadrática, pois a maior potência de
é 2. Funções quadráticas têm gráficos em forma de parábola.
Passo 3
Vamos expandir a função para facilitar a análise:
Agora, temos
.
Passo 4
Para esboçar o gráfico, precisamos encontrar o vértice da parábola. A fórmula para o coordenada
do vértice é:
Aqui,
e
, então:
Agora, encontramos o
do vértice substituindo
na função:
Então, o vértice é
.
Passo 5
Sabendo que
, a parábola abre para cima. Isso significa que o vértice
é o ponto mais baixo do gráfico.
Passo 6
Para encontrar onde a função cruza o eixo
(raízes), resolvemos
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
e
.
Passo 7
Agora, vamos analisar o sinal da função. Sabemos que a parábola abre para cima e o vértice está em
. Então:
- Para
, - Entre
e , - Para
,
Passo 8
Por fim, vamos ver onde a função está crescendo ou diminuindo. Para isso, usamos a derivada:
Igualando a zero para encontrar pontos críticos:
Então:
- Para
, , a função está decrescendo - Para
, , a função está crescendo
Resposta
A função
tem o gráfico de uma parábola com vértice em
, abertos para cima. Ela é positiva para
e
, negativa entre esses valores, e igual a zero em
. A função está decrescendo para
e crescendo para
.
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Encontre o gradiente das funções abaixo:
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