Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo. A seguir, estude o sinal dessas funções, isto é, diga para quais valores de expressão
é positiva, negativa ou nula. Após isso, calcule para quais valores a função é crescente ou decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos esboçar o gráfico dela. Além disso, vamos analisar onde a função é positiva, negativa ou nula, e também descobrir onde ela está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, como vértice, raízes, e derivadas para determinar o crescimento e decrescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma função quadrática do tipo
, onde
,
e
. Como o coeficiente de
é negativo (
), o gráfico vai ser uma parábola com a concavidade para baixo.
Passo 3
Vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de
onde
. Resolvendo a equação:
Então, as raízes são
e
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vértice da parábola, que nos dá o ponto mais alto da função. A fórmula para a coordenada
do vértice é:
Para encontrar
, substituímos
na função:
Então, o vértice é
.
Passo 5
Vamos agora esboçar o gráfico usando as informações que temos:
- Concavidade para baixo.
- Raízes em
e . - Vértice em
.
Desenhamos uma parábola que passa pelos pontos das raízes, atinge seu ponto mais alto no vértice e se abre para baixo.
Passo 6
Vamos analisar o sinal da função
:
- Para
, escolheremos : (negativa). - Entre
e , por exemplo : (positiva). - Para
, por exemplo : (negativa).
Então,
é:
- Negativa para
e . - Positiva para
. - Nula em
e .
Passo 7
Agora, vamos ver onde a função é crescente ou decrescente. Para isso, vamos derivar
e analisar o sinal da derivada:
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
- Para
, digamos : (positiva, então a função está crescendo). - Para
, digamos : (negativa, então a função está decrescendo).
Então,
é:
- Crescente para
. - Decrescente para
.
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola com concavidade para baixo, interceptando o eixo
nos pontos
e
, e alcançando o vértice em
. A função é positiva entre
e
, negativa para
e
. Além disso, a função é crescente para
e decrescente para
.
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é positiva, negativa ou nula. Após isso, calcule para quais valores a função é crescente ou decrescente.
Encontre o gradiente das funções abaixo: