Esboce o gráfico de cada uma das funções abaixo. A seguir, estude o sinal dessas funções, isto é, diga para quais valores de expressão é positiva, negativa ou nula. Após isso, calcule para quais valores a função é crescente ou decrescente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos esboçar o gráfico dela. Além disso, vamos analisar onde a função é positiva, negativa ou nula, e também descobrir onde ela está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos usar conceitos de funções quadráticas, como vértice, raízes, e derivadas para determinar o crescimento e decrescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma função quadrática do tipo , onde , e . Como o coeficiente de é negativo ( ), o gráfico vai ser uma parábola com a concavidade para baixo.

Passo 3

Vamos encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de onde . Resolvendo a equação:
Então, as raízes são e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vértice da parábola, que nos dá o ponto mais alto da função. A fórmula para a coordenada do vértice é:
Para encontrar , substituímos na função:
Então, o vértice é .

Passo 5

Vamos agora esboçar o gráfico usando as informações que temos:
  • Concavidade para baixo.
  • Raízes em e .
  • Vértice em .
Desenhamos uma parábola que passa pelos pontos das raízes, atinge seu ponto mais alto no vértice e se abre para baixo.

Passo 6

Vamos analisar o sinal da função :
  • Para , escolheremos : (negativa).
  • Entre e , por exemplo : (positiva).
  • Para , por exemplo : (negativa).
Então, é:
  • Negativa para e .
  • Positiva para .
  • Nula em e .

Passo 7

Agora, vamos ver onde a função é crescente ou decrescente. Para isso, vamos derivar e analisar o sinal da derivada:
Igualando a derivada a zero para encontrar pontos críticos:
  • Para , digamos : (positiva, então a função está crescendo).
  • Para , digamos : (negativa, então a função está decrescendo).
Então, é:
  • Crescente para .
  • Decrescente para .

Resposta

O gráfico da função é uma parábola com concavidade para baixo, interceptando o eixo nos pontos e , e alcançando o vértice em . A função é positiva entre e , negativa para e . Além disso, a função é crescente para e decrescente para .

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Encontre o gradiente das funções abaixo: