Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície dada pela equação no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, principalmente derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a superfície é uma espécie de paraboloide. Para encontrar o plano tangente nessa superfície no ponto dado, precisamos achar o vetor normal à superfície nesse ponto.

Passo 3

O vetor normal pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função que define a superfície. Vamos reescrever a equação da superfície como . As derivadas parciais são:

Passo 4

No ponto , substituímos os valores de , e nas derivadas parciais para encontrar o vetor normal:
Então, o vetor normal é .

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do plano tangente que é dada por:
Substituindo , , e os valores das derivadas parciais:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Então, o plano tangente é .

Passo 7

Para encontrar a reta normal, usamos o vetor normal e o ponto . A equação paramétrica da reta normal é:
Onde é o parâmetro.

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é e a reta normal é dada pelas equações paramétricas:

Exercícios relacionados

Encontre na direção para os itens (f) e (g) do exercício anterior.
Encontre na direção para os itens de (a) até (e) do exercício anterior.
Encontre o gradiente das funções abaixo:
Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em