Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície dada pela equação
no ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, principalmente derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a superfície
é uma espécie de paraboloide. Para encontrar o plano tangente nessa superfície no ponto dado, precisamos achar o vetor normal à superfície nesse ponto.
Passo 3
O vetor normal pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função que define a superfície. Vamos reescrever a equação da superfície como
. As derivadas parciais são:
Passo 4
No ponto
, substituímos os valores de
,
e
nas derivadas parciais para encontrar o vetor normal:
Então, o vetor normal é
.
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula do plano tangente que é dada por:
Substituindo
,
,
e os valores das derivadas parciais:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação:
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
Então, o plano tangente é
.
Passo 7
Para encontrar a reta normal, usamos o vetor normal
e o ponto
. A equação paramétrica da reta normal é:
Onde
é o parâmetro.
Resposta
O plano tangente à superfície no ponto
é
e a reta normal é dada pelas equações paramétricas:
Exercícios relacionados
Encontre
na direção
para os itens (f) e (g) do exercício anterior.
Encontre
na direção
para os itens de (a) até (e) do exercício anterior.
Encontre o gradiente das funções abaixo:
Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em