Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
x^2+y^2-2 z=13, em P=(1,2,-4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície dada pela equação no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, principalmente derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a superfície é uma espécie de paraboloide. Para encontrar o plano tangente nessa superfície no ponto dado, precisamos achar o vetor normal à superfície nesse ponto.

Passo 3

O vetor normal pode ser encontrado usando as derivadas parciais da função que define a superfície. Vamos reescrever a equação da superfície como Fx = partial Fpartial x = 2x . As derivadas parciais são:
Fy = partial Fpartial y = 2y
Fz = partial Fpartial z = -2

Passo 4

No ponto Fx(1,2,-4) = 2(1) = 2 , substituímos os valores de Fy(1,2,-4) = 2(2) = 4 , Fz(1,2,-4) = -2 e nas derivadas parciais para encontrar o vetor normal:
Então, o vetor normal é .

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do plano tangente que é dada por:
Fx(a,b,c)(x - a) + Fy(a,b,c)(y - b) + Fz(a,b,c)(z - c) = 0
Substituindo 2(x - 1) + 4(y - 2) - 2(z + 4) = 0 , , e os valores das derivadas parciais:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação:
2x - 2 + 4y - 8 - 2z - 8 = 0
2x + 4y - 2z - 18 = 0
Podemos dividir todos os termos por 2 para simplificar:
x + 2y - z - 9 = 0
Então, o plano tangente é .

Passo 7

Para encontrar a reta normal, usamos o vetor normal x = 1 + 2t e o ponto y = 2 + 4t . A equação paramétrica da reta normal é:
z = -4 - 2t
Onde é o parâmetro.

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto x = 1 + 2t é y = 2 + 4t e a reta normal é dada pelas equações paramétricas:
z = -4 - 2t

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