Encontre a integral de f(x) = x cdot ln(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a integral de . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela é baseada na seguinte regra:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Aqui, a gente escolhe duas partes da nossa função para serem e .

Passo 3

No nosso caso, temos u = ln(x) e dv = x , dx . Vamos escolher:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando du = ddx ln(x) , dx = 1x , dx :
v = integral dv = integral x , dx = x^22
E calculando :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x cdot ln(x) , dx = ln(x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx

Passo 6

Simplificando a segunda integral:
integral x^22 cdot 1x , dx = integral x2 , dx = 12 integral x , dx = 12 cdot x^22 = x^24

Passo 7

Substituindo de volta na expressão:
integral x cdot ln(x) , dx = x^22 cdot ln(x) - x^24 + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral de integral x cdot ln(x) , dx = x^22 cdot ln(x) - x^24 + C é:

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