Resolva a integral definida de f(x) = tan(x) no intervalo [0, pi4].

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de no intervalo de a . A gente vai precisar saber sobre integrais básicas e um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente a tangente. Vamos usar a regra de integração para a tangente e aplicar os limites para achar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pode ser escrita como . Isso é útil porque facilita a integração.

Passo 3

Agora, para integrar , a gente pode usar uma substituição simples. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é .

Passo 4

Rearranjando, temos integral tan(x) dx = integral sin(x)cos(x) dx = integral -duu = -ln|u| + C . Agora, substituímos na integral:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Substituindo de volta -ln|cos(x)| + C , a integral indefinida fica:
Mas como estamos fazendo uma integral definida, vamos aplicar os limites agora.

Passo 6

Aplicando os limites de [ -ln|cos(x)| ]0^pi4 = -ln|cos(pi4)| + ln|cos(0)| a :

Passo 7

Sabemos que - ln(raiz22) + ln(1) e - ln(raiz22) . Substituindo esses valores:
E , então:

Passo 8

Simplificando a expressão:
- ln(raiz22) = ln(2raiz2) = ln(raiz2) = 12 ln(2)

Resposta

A integral definida de no intervalo é .

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