Resolva a integral definida de f(x) = ln(x) no intervalo [1, e].

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de no intervalo de . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo integral, mais especificamente a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula da integração por partes e entender como aplicar essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, e são partes da função que vamos escolher de forma estratégica para facilitar a integração.

Passo 3

Agora, vamos identificar quais partes da nossa função u = ln(x) Rightarrow du = 1x , dx vão ser dv = dx Rightarrow v = x e . Geralmente, escolhemos como a parte que se simplifica quando derivamos, e como a parte que podemos integrar facilmente. Então, vamos definir:

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes com essas escolhas, temos:
integral ln(x) , dx = u cdot v - integral v , du = ln(x) cdot x - integral x cdot 1x , dx
Simplificando a expressão dentro da integral:
integral x cdot 1x , dx = integral 1 , dx = x
Portanto, a integral fica:
integral ln(x) , dx = x ln(x) - x + C
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral definida de integral1^e ln(x) , dx = [ x ln(x) - x ]1^e a :
Isso significa que vamos avaliar a expressão nos limites de e e subtrair os resultados.

Passo 6

Vamos calcular primeiro em e ln(e) - e :
e cdot 1 - e = e - e = 0
Sabemos que 1 ln(1) - 1 , então:
1 cdot 0 - 1 = -1
Agora, em :
E , então:

Passo 7

Agora, subtraímos os valores obtidos:
0 - (-1) = 1

Resposta

O valor da integral definida de no intervalo de é 1.

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