Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, e os extremos relativos(máximos ou mínimos locais) das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo, além de identificar os extremos relativos (máximos ou mínimos locais). Para isso, vamos usar o cálculo, mais especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender o comportamento da função em relação ao aumento ou diminuição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se está subindo ou descendo.
A função é:
Calculando a derivada:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos encontrar onde ela é igual a zero. Esses pontos são chamados de críticos e podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, indicando possíveis extremos.
Resolvendo :
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Vamos analisar os sinais da derivada em relação a para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Para :
    Escolha :
    (positivo)
    Isso significa que a função está crescendo nesse intervalo.
  • Para :
    Escolha :
    (negativo)
    Isso indica que a função está decrescendo nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos determinar o tipo de extremo relativo no ponto crítico . Como a função passa de crescente para decrescente nesse ponto, isso significa que temos um máximo local.
Para encontrar o valor desse máximo, substituímos na função original:

Resposta

A função está crescendo no intervalo , decrescendo no intervalo , e possui um extremo relativo máximo no ponto .

Exercícios relacionados

) A quantidade de carga , em coulombs ©, que passa através de um ponto em um fio até o instante (medido em segundos) é dada por:
a) Calcule a corrente elétrica quando .
) A quantidade de carga , em coulombs ©, que passa através de um ponto em um fio até o instante (medido em segundos) é dada por:
b) Calcule a corrente elétrica quando .
Estima-se que uma colônia de bactérias tenha uma população dada por ,em milhares, horas após a introdução de uma toxina. Determine o tempo no qual a população é máxima e calcule a população neste tempo.
Encontre os pontos críticos das funções a seguir: