Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, e os extremos relativos(máximos ou mínimos locais) das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os intervalos onde a função
está crescendo ou decrescendo, além de identificar os extremos relativos (máximos ou mínimos locais). Para isso, vamos usar o cálculo, mais especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender o comportamento da função em relação ao aumento ou diminuição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se está subindo ou descendo.
A função é:
Calculando a derivada:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar onde ela é igual a zero. Esses pontos são chamados de críticos e podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, indicando possíveis extremos.
Resolvendo
:
Então, o ponto crítico é
.
Passo 4
Vamos analisar os sinais da derivada em relação a
para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
-
Para
:
Escolha: (positivo) Isso significa que a função está crescendo nesse intervalo. -
Para
:
Escolha: (negativo) Isso indica que a função está decrescendo nesse intervalo.
Passo 5
Agora, vamos determinar o tipo de extremo relativo no ponto crítico
. Como a função passa de crescente para decrescente nesse ponto, isso significa que temos um máximo local.
Para encontrar o valor desse máximo, substituímos
na função original:
Resposta
A função
está crescendo no intervalo
, decrescendo no intervalo
, e possui um extremo relativo máximo no ponto
.
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a) Calcule a corrente elétrica
quando
.
b) Calcule a corrente elétrica
quando
.
Estima-se que uma colônia de bactérias tenha uma população dada por
,em milhares,
horas após a introdução de uma toxina. Determine o tempo no qual a população é máxima e calcule a população neste tempo.
Encontre os pontos críticos das funções a seguir: