Encontre os intervalos de crescimento, decrescimento, e os extremos relativos(máximos ou mínimos locais) das seguintes funções:
f(x)=4 x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo, além de identificar os extremos relativos (máximos ou mínimos locais). Para isso, vamos usar o cálculo, mais especificamente a derivada da função, que nos ajuda a entender o comportamento da função em relação ao aumento ou diminuição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x) = 4x - x^2 . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, ou seja, se está subindo ou descendo.
A função é:
f'(x) = ddx(4x) - ddx(x^2)
Calculando a derivada:
f'(x) = 4 - 2x

Passo 3

Agora que temos a derivada 4 - 2x = 0 , vamos encontrar onde ela é igual a zero. Esses pontos são chamados de críticos e podem ser onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, indicando possíveis extremos.
Resolvendo 2x = 4 :
x = 2
Então, o ponto crítico é .

Passo 4

Vamos analisar os sinais da derivada em relação a f'(1) = 4 - 2(1) = 2 para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Para f'(3) = 4 - 2(3) = -2 :
    Escolha :
    (positivo)
    Isso significa que a função está crescendo nesse intervalo.
  • Para :
    Escolha :
    (negativo)
    Isso indica que a função está decrescendo nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos determinar o tipo de extremo relativo no ponto crítico f(2) = 4(2) - (2)^2 = 8 - 4 = 4 . Como a função passa de crescente para decrescente nesse ponto, isso significa que temos um máximo local.
Para encontrar o valor desse máximo, substituímos na função original:

Resposta

A função está crescendo no intervalo , decrescendo no intervalo , e possui um extremo relativo máximo no ponto .

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