Encontre os pontos críticos das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos críticos da função
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas, para identificar onde a função tem valores extremos ou mudanças de comportamento.
Passo 2
Primeiro, o que são pontos críticos? Em cálculo, um ponto crítico de uma função ocorre onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão na curva da função.
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto
. A função dada é
. Vamos derivar termo a termo:
Calculando cada derivada:
Então,
Passo 4
Agora que temos a derivada
, devemos encontrar onde ela é igual a zero, pois são esses pontos que podem ser críticos:
Podemos fatorar essa equação:
Assim, temos duas soluções:
Passo 5
Encontramos os valores de
onde a derivada é zero:
e
. Para encontrar os pontos críticos completos, precisamos incluir os valores de
correspondentes substituindo esses
na função original
.
Para
:
Para
:
Resposta
Os pontos críticos da função são
e
.
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,em milhares,
horas após a introdução de uma toxina. Determine o tempo no qual a população é máxima e calcule a população neste tempo.
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