Encontre os pontos críticos das funções a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos críticos da função . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas, para identificar onde a função tem valores extremos ou mudanças de comportamento.

Passo 2

Primeiro, o que são pontos críticos? Em cálculo, um ponto crítico de uma função ocorre onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão na curva da função.

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto . A função dada é . Vamos derivar termo a termo:
Calculando cada derivada:
Então,

Passo 4

Agora que temos a derivada , devemos encontrar onde ela é igual a zero, pois são esses pontos que podem ser críticos:
Podemos fatorar essa equação:
Assim, temos duas soluções:

Passo 5

Encontramos os valores de onde a derivada é zero: e . Para encontrar os pontos críticos completos, precisamos incluir os valores de correspondentes substituindo esses na função original .
Para :
Para :

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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