Encontre os pontos críticos das funções a seguir:
f(x)=x^3+3 x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os pontos críticos da função . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas, para identificar onde a função tem valores extremos ou mudanças de comportamento.

Passo 2

Primeiro, o que são pontos críticos? Em cálculo, um ponto crítico de uma função ocorre onde a derivada da função é zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão na curva da função.

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a derivada da função f'(x) = ddx(x^3) + ddx(3x^2) + ddx(1) . A derivada nos dá a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto ddx(x^3) = 3x^2 . A função dada é ddx(3x^2) = 6x . Vamos derivar termo a termo:
ddx(1) = 0
Calculando cada derivada:
f'(x) = 3x^2 + 6x
Então,

Passo 4

Agora que temos a derivada 3x^2 + 6x = 0 , devemos encontrar onde ela é igual a zero, pois são esses pontos que podem ser críticos:
3x(x + 2) = 0
Podemos fatorar essa equação:
3x = 0 Rightarrow x = 0
Assim, temos duas soluções:
x + 2 = 0 Rightarrow x = -2

Passo 5

Encontramos os valores de f(0) = (0)^3 + 3(0)^2 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1 onde a derivada é zero: f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 + 1 = -8 + 12 + 1 = 5 e . Para encontrar os pontos críticos completos, precisamos incluir os valores de correspondentes substituindo esses na função original .
Para :
Para :

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

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