Estima-se que uma colônia de bactérias tenha uma população dada por P(t)=24 t+10t^2+1,em milhares, t horas após a introdução de uma toxina. Determine o tempo no qual a população é máxima e calcule a população neste tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que mostra a população de bactérias ao longo do tempo, dada por , onde é o tempo em horas. Nosso objetivo aqui é descobrir em que momento a população de bactérias atinge o máximo e qual é esse valor máximo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas do cálculo, que ajudam a encontrar máximos e mínimos de funções.

Passo 2

Primeiro, para encontrar quando a população é máxima, precisamos encontrar o valor de que faz a função atingir seu ponto mais alto. Isso acontece onde a derivada da função, , é igual a zero. Então, vamos calcular a derivada de .

Passo 3

A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos , a derivada é . Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de f'(t) = 24 e g'(t) = 2t :
P'(t) = 24(t^2 + 1) - (24t + 10)(2t)(t^2 + 1)^2
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Simplificando o numerador:
24(t^2 + 1) - (24t + 10)(2t) = 24t^2 + 24 - 48t^2 - 20t = -24t^2 - 20t + 24
Então,
P'(t) = -24t^2 - 20t + 24(t^2 + 1)^2
Para encontrar o máximo, igualamos -24t^2 - 20t + 24 = 0 a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática:
-24t^2 - 20t + 24 = 0
24t^2 + 20t - 24 = 0 (mu
Dividindo tudo por 4 para simplificar:
6t^2 + 5t - 6 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
t = -5 pm raiz25 + 14412 = -5 pm raiz16912 = -5 pm 1312
Assim, temos duas soluções:
t = 812 = 23 horas
t = -1812 = -1.5 horas (desconsideramos, pois tempo não pode ser negativo) ã

Resposta

O tempo em que a população de bactérias é máxima é de horas, e a população nesse momento é de aproximadamente 13,33 mil bactérias.

Exercícios relacionados