Estima-se que uma colônia de bactérias tenha uma população dada por ,em milhares, horas após a introdução de uma toxina. Determine o tempo no qual a população é máxima e calcule a população neste tempo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que mostra a população de bactérias ao longo do tempo, dada por , onde é o tempo em horas. Nosso objetivo aqui é descobrir em que momento a população de bactérias atinge o máximo e qual é esse valor máximo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas do cálculo, que ajudam a encontrar máximos e mínimos de funções.

Passo 2

Primeiro, para encontrar quando a população é máxima, precisamos encontrar o valor de que faz a função atingir seu ponto mais alto. Isso acontece onde a derivada da função, , é igual a zero. Então, vamos calcular a derivada de .

Passo 3

A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos , a derivada é . Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
Agora, aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Simplificando o numerador:
Então,
Para encontrar o máximo, igualamos a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática:
Dividindo tudo por 4 para simplificar:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
ã

Resposta

O tempo em que a população de bactérias é máxima é de horas, e a população nesse momento é de aproximadamente 13,33 mil bactérias.

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