Estima-se que uma colônia de bactérias tenha uma população dada por
,em milhares,
horas após a introdução de uma toxina. Determine o tempo no qual a população é máxima e calcule a população neste tempo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que mostra a população de bactérias ao longo do tempo, dada por
, onde
é o tempo em horas. Nosso objetivo aqui é descobrir em que momento a população de bactérias atinge o máximo e qual é esse valor máximo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas do cálculo, que ajudam a encontrar máximos e mínimos de funções.
Passo 2
Primeiro, para encontrar quando a população é máxima, precisamos encontrar o valor de
que faz a função
atingir seu ponto mais alto. Isso acontece onde a derivada da função,
, é igual a zero. Então, vamos calcular a derivada de
.
Passo 3
A função
é uma fração, então vamos usar a regra do quociente para derivar. A regra do quociente diz que se temos
, a derivada é
. Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Agora, aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Simplificando o numerador:
Então,
Para encontrar o máximo, igualamos
a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática:
Dividindo tudo por 4 para simplificar:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos duas soluções:
Resposta
O tempo em que a população de bactérias é máxima é de
horas, e a população nesse momento é de aproximadamente 13,33 mil bactérias.
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a) Calcule a corrente elétrica
quando
.
Encontre os pontos críticos das funções a seguir:
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