5^a ) A quantidade de carga Q, em coulombs ©, que passa através de um ponto em um fio até o instante t (medido em segundos) é dada por:
Q(t)=(t^3-2 t^2+6 t+2)^3
a) Calcule a corrente elétrica i(t)=d Q(t)d t quando t=0 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre corrente elétrica, que é a taxa de variação da carga elétrica com o tempo. Ou seja, queremos encontrar como a carga muda conforme o tempo . Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que nos deram:
Q(t) = (t^3 - 2 t^2 + 6 t + 2)^3
Queremos encontrar a corrente elétrica i(t) = dQ(t)dt , que é a derivada de em relação ao tempo :
Para derivar , vamos usar a regra do poder e a regra da cadeia do cálculo. A regra do poder nos diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos definir:
u = t^3 - 2 t^2 + 6 t + 2
Então, dQ(t)dt = 3u^2 cdot dudt . Aplicando a derivada:
dudt = ddt(t^3) - ddt(2 t^2) + ddt(6 t) + ddt(2) = 3t^2 - 4t + 6
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Agora, juntando tudo:
i(t) = 3u^2 cdot (3t^2 - 4t + 6)
Lembrando que .

Passo 5

Precisamos calcular u = (0)^3 - 2(0)^2 + 6(0) + 2 = 2 quando dudt = 3(0)^2 - 4(0) + 6 = 6 segundos. Vamos substituir i(0) = 3(2)^2 cdot 6 = 3 cdot 4 cdot 6 = 72 nas expressões:
Então,

Resposta

A corrente elétrica quando segundos é .

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