Encontre um número
não-zero tal que:
(a)
não é representável nem no primeiro, nem no segundo sistema de pontos flutuantes acima.
(a)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar um número real
, diferente de zero, que não pode ser representado nem no primeiro nem no segundo sistema de pontos flutuantes mencionados. Para isso, vamos usar conceitos de representação de números em sistemas de pontos flutuantes e entender por que certos números não conseguem ser representados exatamente nesses sistemas.
Passo 2
Primeiro, é importante entender o que é um sistema de pontos flutuantes. Esse sistema é uma forma de representar números reais de maneira aproximada em computadores, utilizando uma mantissa (parte significativa) e um expoente. Cada sistema possui uma precisão limitada, ou seja, um número finito de dígitos que podem ser usados para representar a mantissa e o expoente.
Passo 3
Como queremos um número que não possa ser representado em nenhum dos dois sistemas, precisamos escolher um número que exija uma precisão maior do que a que qualquer um dos sistemas oferece. Números irracionais ou números decimais com expansão infinita e não periódica são bons candidatos, pois não podem ser representados exatamente com um número finito de dígitos.
Passo 4
Vamos escolher
. Esse número é irracional, ou seja, sua representação decimal é infinita e não periódica:
. Nenhum sistema de pontos flutuantes finito consegue representar exatamente
, pois sempre haverá uma aproximação limitada pela precisão do sistema.
Passo 5
Portanto, o número
não pode ser representado exatamente nem no primeiro, nem no segundo sistema de pontos flutuantes, atendendo às condições do exercício.
Resposta
Um número que satisfaz as condições é
.
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Uma iteração de ponto fixo constrói uma aproximação para uma solução da equação
através da sequência
onde temos
Considere a equação
que é da forma
.
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Usando
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.
Qual ou quais funções de iteração encontradas convergem para ?
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Considere um sistema de ponto flutuante com base 2, comprimento de mantissas 4 , e expoentes entre -18 e 18.
(a) Tente escrever o número do seu RA nesse sistema de ponto flutuante.
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Encontre um número
não-zero tal que: (b)
não é representável no primeiro sistema de pontos flutuantes acima, mas é representável no segundo.