Uma iteração de ponto fixo constrói uma aproximação para uma solução da equação f(x)=0 através da sequência
xn+1=g(xn),
onde temos
f(x)=0 rightarrow x=g(x)
Considere a equação
x^2-3 x+2=0
que é da forma f(x)=0.
Qual ou quais funções de iteração encontradas convergem para x=2 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação que queremos resolver usando iteração de ponto fixo. Isso significa que vamos transformar essa equação na forma e encontrar funções que, ao aplicarmos , a sequência gerada converge para . Para isso, precisamos rearranjar a equação e identificar quais formas de fazem isso acontecer.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação x = 3x - 21 para isolar x = x^2 + 23 em termos de . Uma maneira de fazer isso é:
Mas essa forma não é muito útil para iteração. Então, vamos tentar outra rearranjo:
Aqui, expressamos como uma função de , ou seja, .

Passo 3

Outra maneira de rearranjar a equação é isolar x = raiz3x - 2 dentro de uma raiz quadrada:
g(x) = raiz3x - 2
Então, temos outra função de iteração:

Passo 4

Vamos verificar se essas funções realmente convergem para g(2) = 2^2 + 23 = 4 + 23 = 2 .
Para g(2) = raiz3(2) - 2 = raiz6 - 2 = raiz4 = 2 :
Substituindo :
Para :
Substituindo :
Isso mostra que ambas as funções têm como ponto fixo.

Passo 5

Agora, para garantir a convergência, precisamos verificar a derivada de g'(x) = 2x3 no ponto fixo g'(2) = 43 . Se o valor absoluto da derivada for menor que 1, a iteração converge.
Para g'(x) = 32raiz3x - 2 :
g'(2) = 32 times 2 = 34
Avaliar em :
Como , essa função não garante convergência para .
Para :
Avaliar em :
Aqui, , então essa função garante convergência para .

Resposta

A única função de iteração que converge para g(x) = raiz3x - 2 é:

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