Uma iteração de ponto fixo constrói uma aproximação para uma solução da equação através da sequência
onde temos
Considere a equação
que é da forma .
Qual ou quais funções de iteração encontradas convergem para ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação que queremos resolver usando iteração de ponto fixo. Isso significa que vamos transformar essa equação na forma e encontrar funções que, ao aplicarmos , a sequência gerada converge para . Para isso, precisamos rearranjar a equação e identificar quais formas de fazem isso acontecer.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para isolar em termos de . Uma maneira de fazer isso é:
Mas essa forma não é muito útil para iteração. Então, vamos tentar outra rearranjo:
Aqui, expressamos como uma função de , ou seja, .

Passo 3

Outra maneira de rearranjar a equação é isolar dentro de uma raiz quadrada:
Então, temos outra função de iteração:

Passo 4

Vamos verificar se essas funções realmente convergem para .
Para :
Substituindo :
Para :
Substituindo :
Isso mostra que ambas as funções têm como ponto fixo.

Passo 5

Agora, para garantir a convergência, precisamos verificar a derivada de no ponto fixo . Se o valor absoluto da derivada for menor que 1, a iteração converge.
Para :
Avaliar em :
Como , essa função não garante convergência para .
Para :
Avaliar em :
Aqui, , então essa função garante convergência para .

Resposta

A única função de iteração que converge para é:

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Uma iteração de ponto fixo constrói uma aproximação para uma solução da equação através da sequência
onde temos
Considere a equação
que é da forma .
Obtenha 4 funções de iteração de ponto fixo
Simplifique as expressões a seguir:
Uma iteração de ponto fixo constrói uma aproximação para uma solução da equação através da sequência
onde temos
Considere a equação
que é da forma .
Usando , calcule aproximações para a raiz com as funções encontradas.
Encontre um número não-zero tal que:
(a) não é representável nem no primeiro, nem no segundo sistema de pontos flutuantes acima.