Uma iteração de ponto fixo constrói uma aproximação para uma solução da equação
através da sequência
onde temos
Considere a equação
que é da forma
.
Qual ou quais funções de iteração encontradas convergem para
?
Qual ou quais funções de iteração encontradas convergem para
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação
que queremos resolver usando iteração de ponto fixo. Isso significa que vamos transformar essa equação na forma
e encontrar funções
que, ao aplicarmos
, a sequência gerada converge para
. Para isso, precisamos rearranjar a equação e identificar quais formas de
fazem isso acontecer.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação
para isolar
em termos de
. Uma maneira de fazer isso é:
Mas essa forma não é muito útil para iteração. Então, vamos tentar outra rearranjo:
Aqui, expressamos
como uma função de
, ou seja,
.
Passo 3
Outra maneira de rearranjar a equação é isolar
dentro de uma raiz quadrada:
Então, temos outra função de iteração:
Passo 4
Vamos verificar se essas funções realmente convergem para
.
Para
:
Substituindo
:
Para
:
Substituindo
:
Isso mostra que ambas as funções têm
como ponto fixo.
Passo 5
Agora, para garantir a convergência, precisamos verificar a derivada de
no ponto fixo
. Se o valor absoluto da derivada for menor que 1, a iteração converge.
Para
:
Avaliar em
:
Como
, essa função não garante convergência para
.
Para
:
Avaliar em
:
Aqui,
, então essa função garante convergência para
.
Resposta
A única função de iteração que converge para
é:
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Uma iteração de ponto fixo constrói uma aproximação para uma solução da equação
através da sequência
onde temos
Considere a equação
que é da forma
.
Obtenha 4 funções de iteração de ponto fixo
Obtenha 4 funções de iteração de ponto fixo
Simplifique as expressões a seguir:
Uma iteração de ponto fixo constrói uma aproximação para uma solução da equação
através da sequência
onde temos
Considere a equação
que é da forma
.
Usando , calcule aproximações para a raiz com as funções encontradas.
Usando
Encontre um número
não-zero tal que:
(a) não é representável nem no primeiro, nem no segundo sistema de pontos flutuantes acima.
(a)