Uma iteração de ponto fixo constrói uma aproximação para uma solução da equação f(x)=0 através da sequência
xn+1=g(xn),
onde temos
f(x)=0 rightarrow x=g(x)
Considere a equação
x^2-3 x+2=0
que é da forma f(x)=0.
Usando x0=1,4, calcule aproximações para a raiz com as funções encontradas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de iteração de ponto fixo juntos! A gente precisa encontrar uma solução para a equação , onde . Para isso, vamos usar a técnica de iteração de ponto fixo, que envolve criar uma sequência que se aproxima da raiz da equação. Vamos usar a fórmula e começar com .

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever a equação x^2 - 3x + 2 = 0 implies x = x^2 + 23 na forma g(x) = x^2 + 23 . Temos:
Então, nossa função é:

Passo 3

Agora, vamos começar a iteração usando x1 = g(x0) = (1,4)^2 + 23 = 1,96 + 23 = 3,963 = 1,32 . A ideia é calcular , depois e assim por diante, até que os valores comecem a se aproximar de um número fixo.
Calculemos :

Passo 4

Agora, vamos calcular x2 = g(x1) = (1,32)^2 + 23 = 1,7424 + 23 = 3,74243 approx 1,2475 usando :

Passo 5

Continuando, calculamos x3 = g(x2) = (1,2475)^2 + 23 approx 1,5556 + 23 approx 3,55563 approx 1,1852 com :

Passo 6

Vamos calcular x4 = g(x3) = (1,1852)^2 + 23 approx 1,4046 + 23 approx 3,40463 approx 1,1349 usando :

Passo 7

Por fim, calculamos x5 = g(x4) = (1,1349)^2 + 23 approx 1,2919 + 23 approx 3,29193 approx 1,0973 com :

Resposta

Após algumas iterações, a aproximação para a raiz da equação usando a iteração de ponto fixo com é aproximadamente .

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