Encontre o número de subintervalos necessários para garantir, com duas casas decimais corretas, uma aproximação para a integral , utilizando a regra dos trapézios composta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o número de subintervalos necessários para aproximar a integral usando a regra dos trapézios composta, garantindo que o resultado tenha duas casas decimais corretas. Para isso, vamos precisar entender como funciona a regra dos trapézios e como estimar o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra dos trapézios composta. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em subintervalos iguais, calculando a área de trapézios em cada subintervalo e somando todas elas. A fórmula para a aproximação é:
Onde é a largura de cada subintervalo.

Passo 3

Agora, para garantir que nossa aproximação tenha duas casas decimais corretas, precisamos estimar o erro máximo da regra dos trapézios composta. A fórmula para o erro é:
Nosso objetivo é que esse erro seja menor ou igual a (já que queremos duas casas decimais corretas).

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada de , que precisamos para encontrar .
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor máximo de no intervalo .
Como e são funções positivas no intervalo considerado, o máximo ocorre quando ambas são máximas.
Sabemos que é crescente, então o máximo em é .
Para , o máximo no intervalo ocorre em ( ), mas como nosso intervalo vai até 1,2, o máximo em é .
Calculando:

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do erro:
Calculando :
Simplificando:

Passo 7

Agora, isolamos :
Então,
Como deve ser um número inteiro, arredondamos para cima:

Resposta

São necessários 14 subintervalos para garantir que a aproximação da integral usando a regra dos trapézios composta tenha duas casas decimais corretas.

Exercícios relacionados

Considerando o conjunto de pontos , e 0.9 , calcule utilizando a regra do trapézio sobre todos os pontos.
Resolva os sistemas linear através do método de substituição retroativa.
Aplicar a regra do trapézio para calcular sob um intervalo dividido em 6 partes iguais. Utilize quatro casas decimais.
Utilize a regra de de Simpson composta sob 6 subintervalos para calcular o comprimento do arco da função no intervalo .