Encontre o número de subintervalos necessários para garantir, com duas casas decimais corretas, uma aproximação para a integral integral0^1.2 e^x cos (x) d x, utilizando a regra dos trapézios composta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o número de subintervalos necessários para aproximar a integral usando a regra dos trapézios composta, garantindo que o resultado tenha duas casas decimais corretas. Para isso, vamos precisar entender como funciona a regra dos trapézios e como estimar o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra dos trapézios composta. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo Tn = De em subintervalos iguais, calculando a área de trapézios em cada subintervalo e somando todas elas. A fórmula para a aproximação é:
Onde é a largura de cada subintervalo.

Passo 3

Agora, para garantir que nossa aproximação tenha duas casas decimais corretas, precisamos estimar o erro máximo da regra dos trapézios composta. A fórmula para o erro é:
|ET| <= (b - a)^312 n^2 cdot maxa <= x <= b |f''(x)|
Nosso objetivo é que esse erro seja menor ou igual a (já que queremos duas casas decimais corretas).

Passo 4

Vamos calcular a segunda derivada de f'(x) = e^x cos(x) - e^x sin(x) , que precisamos para encontrar f''(x) = e^x cos(x) - 2 e^x sin(x) - e^x cos(x) = -2 e^x sin(x) .
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o valor máximo de |f''(x)| = 2 e^x |sin(x)| no intervalo e^1.2 approx 3,3201 .
sin(1.2) approx 0,9320
Como max |f''(x)| approx 2 times 3,3201 times 0,9320 approx 6,191 e são funções positivas no intervalo considerado, o máximo ocorre quando ambas são máximas.
Sabemos que é crescente, então o máximo em é .
Para , o máximo no intervalo ocorre em ( ), mas como nosso intervalo vai até 1,2, o máximo em é .
Calculando:

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula do erro:
(1,2 - 0)^312 n^2 times 6,191 <= 0,005
Calculando 1,72812 n^2 times 6,191 <= 0,005 :
1,728 times 6,19112 n^2 <= 0,005
Simplificando:
10,69612 n^2 <= 0,005
0,8913n^2 <= 0,005

Passo 7

Agora, isolamos n^2 >= 0,89130,005 = 178,26 :
n >= raiz178,26 approx 13,35
Então,
n = 14
Como deve ser um número inteiro, arredondamos para cima:

Resposta

São necessários 14 subintervalos para garantir que a aproximação da integral usando a regra dos trapézios composta tenha duas casas decimais corretas.

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