Encontre o número de subintervalos necessários para garantir, com duas casas decimais corretas, uma aproximação para a integral
, utilizando a regra dos trapézios composta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o número de subintervalos necessários para aproximar a integral
usando a regra dos trapézios composta, garantindo que o resultado tenha duas casas decimais corretas. Para isso, vamos precisar entender como funciona a regra dos trapézios e como estimar o erro dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a regra dos trapézios composta. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo
em
subintervalos iguais, calculando a área de trapézios em cada subintervalo e somando todas elas. A fórmula para a aproximação é:
Onde
é a largura de cada subintervalo.
Passo 3
Agora, para garantir que nossa aproximação tenha duas casas decimais corretas, precisamos estimar o erro máximo da regra dos trapézios composta. A fórmula para o erro é:
Nosso objetivo é que esse erro seja menor ou igual a
(já que queremos duas casas decimais corretas).
Passo 4
Vamos calcular a segunda derivada de
, que precisamos para encontrar
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar o valor máximo de
no intervalo
.
Como
e
são funções positivas no intervalo considerado, o máximo ocorre quando ambas são máximas.
Sabemos que
é crescente, então o máximo em
é
.
Para
, o máximo no intervalo
ocorre em
(
), mas como nosso intervalo vai até 1,2, o máximo em
é
.
Calculando:
Passo 6
Agora, substituímos os valores na fórmula do erro:
Calculando
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Então,
Como
deve ser um número inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
São necessários 14 subintervalos para garantir que a aproximação da integral
usando a regra dos trapézios composta tenha duas casas decimais corretas.
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, e 0.9 , calcule
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.