Utilize a regra de 1 / 3 de Simpson composta sob 6 subintervalos para calcular o comprimento do arco da função f(x)=0.5 x^2 no intervalo [1,4].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco da função no intervalo de a . Para isso, vamos usar a regra de Simpson composta de com 6 subintervalos. Basicamente, isso envolve calcular uma integral que representa esse comprimento e usar a regra de Simpson para aproximar o valor dessa integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o comprimento de um arco de uma função. A fórmula para o comprimento do arco de uma função L = integrala^b raiz1 + [f'(x)]^2 , dx entre e é:
Isso significa que vamos integrar a raiz de mais o quadrado da derivada da função.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de f'(x) = ddx(0.5x^2) = x . Derivando em relação a , temos:
Então, .

Passo 4

Agora, substituímos L = integral1^4 raiz1 + x^2 , dx na fórmula do comprimento do arco:
Nosso objetivo é calcular essa integral para encontrar o comprimento do arco.

Passo 5

Vamos usar a regra de Simpson integrala^b f(x) , dx approx De composta para aproximar essa integral. Essa regra é uma técnica de integração numérica que divide o intervalo de integração em um número par de subintervalos (neste caso, 6) e aplica uma fórmula específica para aproximar o valor da integral.
A fórmula da regra de Simpson composta é:
í
onde e é o número de subintervalos (deve ser par).

Passo 6

Vamos calcular De e os pontos x0 = 1, x1 = 1.5, x2 = 2, x3 = 2.5, x4 = 3, x5 = 3.5, x6 = 4 :
Os pontos são:

Passo 7

Agora, vamos calcular f(x0) &= raiz1 + (1)^2 = raiz2 f(x1) &= raiz1 + (1.5)^2 = raiz3.25 f(x2) &= raiz1 + (2)^2 = raiz5 f(x3) &= raiz1 + (2.5)^2 = raiz7.25 f(x4) &= raiz1 + (3)^2 = raiz10 f(x5) &= raiz1 + (3.5)^2 = raiz13.25 f(x6) &= raiz1 + (4)^2 = raiz17 para cada :

Passo 8

Vamos aplicar a fórmula da regra de Simpson L approx 0.53 [ raiz2 + 4(raiz3.25 + raiz7.25 + raiz13.25) + 2(raiz5 + raiz10) + raiz17 ] :
4(raiz3.25 + raiz7.25 + raiz13.25) &= 4(1.802 + 2.692 + 3.640) = 4(8.134) = 32.536 2(raiz5 + raiz10) &= 2(2.236 + 3.162) = 2(5.398) = 10.796
Calculando cada termo:
raiz2 + 32.536 + 10.796 + raiz17 approx 1.414 + 32.536 + 10.796 + 4.123 = 48.869
Agora, somamos tudo:
L approx 0.53 times 48.869 approx 0.1667 times 48.869 approx 8.145
Multiplicando pelo fator:

Resposta

O comprimento do arco da função no intervalo de a é aproximadamente 8.15 unidades.

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