Utilize a regra de
de Simpson composta sob 6 subintervalos para calcular o comprimento do arco da função
no intervalo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco da função
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar a regra de Simpson composta de
com 6 subintervalos. Basicamente, isso envolve calcular uma integral que representa esse comprimento e usar a regra de Simpson para aproximar o valor dessa integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como calcular o comprimento de um arco de uma função. A fórmula para o comprimento do arco de uma função
entre
e
é:
Isso significa que vamos integrar a raiz de
mais o quadrado da derivada da função.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
. Derivando em relação a
, temos:
Então,
.
Passo 4
Agora, substituímos
na fórmula do comprimento do arco:
Nosso objetivo é calcular essa integral para encontrar o comprimento do arco.
Passo 5
Vamos usar a regra de Simpson
composta para aproximar essa integral. Essa regra é uma técnica de integração numérica que divide o intervalo de integração em um número par de subintervalos (neste caso, 6) e aplica uma fórmula específica para aproximar o valor da integral.
A fórmula da regra de Simpson
composta é:
onde
e
é o número de subintervalos (deve ser par).
Passo 6
Vamos calcular
e os pontos
:
Os pontos
são:
Passo 7
Agora, vamos calcular
para cada
:
Passo 8
Vamos aplicar a fórmula da regra de Simpson
:
Calculando cada termo:
Agora, somamos tudo:
Multiplicando pelo fator:
Resposta
O comprimento do arco da função
no intervalo de
a
é aproximadamente 8.15 unidades.
Exercícios relacionados
Aplicar a regra do trapézio para calcular
sob um intervalo dividido em 6 partes iguais. Utilize quatro casas decimais.
Encontre o número de subintervalos necessários para garantir, com duas casas decimais corretas, uma aproximação para a integral
, utilizando a regra dos trapézios composta.
O erro ao aplicarmos a regra de
de Simpson é
Aplique o método de
de Simpson simples para calcular
. Encontre uma estimativa ao erro.
Sabendo-se que a distribuição normal padrão é representada pela função
, calcule uma aproximação para a probabilidade para
entre
utilizando o método de
de Simpson sobre 6 subintervalos.