Utilize a regra de de Simpson composta sob 6 subintervalos para calcular o comprimento do arco da função no intervalo .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco da função no intervalo de a . Para isso, vamos usar a regra de Simpson composta de com 6 subintervalos. Basicamente, isso envolve calcular uma integral que representa esse comprimento e usar a regra de Simpson para aproximar o valor dessa integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o comprimento de um arco de uma função. A fórmula para o comprimento do arco de uma função entre e é:
Isso significa que vamos integrar a raiz de mais o quadrado da derivada da função.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de . Derivando em relação a , temos:
Então, .

Passo 4

Agora, substituímos na fórmula do comprimento do arco:
Nosso objetivo é calcular essa integral para encontrar o comprimento do arco.

Passo 5

Vamos usar a regra de Simpson composta para aproximar essa integral. Essa regra é uma técnica de integração numérica que divide o intervalo de integração em um número par de subintervalos (neste caso, 6) e aplica uma fórmula específica para aproximar o valor da integral.
A fórmula da regra de Simpson composta é:
í
onde e é o número de subintervalos (deve ser par).

Passo 6

Vamos calcular e os pontos :
Os pontos são:

Passo 7

Agora, vamos calcular para cada :

Passo 8

Vamos aplicar a fórmula da regra de Simpson :
Calculando cada termo:
Agora, somamos tudo:
Multiplicando pelo fator:

Resposta

O comprimento do arco da função no intervalo de a é aproximadamente 8.15 unidades.

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Aplicar a regra do trapézio para calcular sob um intervalo dividido em 6 partes iguais. Utilize quatro casas decimais.
Encontre o número de subintervalos necessários para garantir, com duas casas decimais corretas, uma aproximação para a integral , utilizando a regra dos trapézios composta.
O erro ao aplicarmos a regra de de Simpson é
Aplique o método de de Simpson simples para calcular . Encontre uma estimativa ao erro.
Sabendo-se que a distribuição normal padrão é representada pela função , calcule uma aproximação para a probabilidade para entre utilizando o método de de Simpson sobre 6 subintervalos.