A soma de dois números é 20. Se cada número for adicionado à própria raiz quadrada, o produto das duas somas será 155,55 . Determine os dois números com precisão de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar dois números que somam 20 e, quando adicionamos a raiz quadrada de cada um e multiplicamos essas somas, o resultado é 155,55. Para resolver isso, vamos usar álgebra e um pouco de teoria sobre equações quadráticas e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os dois números de e . Sabemos que:
Isso é a nossa primeira equação.

Passo 3

A segunda parte do problema diz que se adicionarmos a raiz quadrada de cada número e multiplicarmos os resultados, obtemos 155,55. Então:
Essa é a nossa segunda equação.

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da primeira equação, podemos expressar em termos de :

Passo 5

Substituímos na segunda equação:
Essa equação é um pouco complicada por causa das raízes quadradas, então vamos simplificar.

Passo 6

Para simplificar, vamos tentar isolar uma das variáveis. Mas esse tipo de equação não é fácil de resolver analiticamente, então vamos usar métodos numéricos, como o método da bissecção ou o método de Newton-Raphson, para encontrar valores aproximados de .

Passo 7

Vamos usar uma abordagem iterativa começando com uma estimativa. Sabemos que e somam 20, então vamos testar valores de entre 0 e 20 e ver qual deles satisfaz a segunda equação.

Passo 8

Após várias iterações e cálculos, encontramos que os valores que satisfazem ambas as equações com precisão de são aproximadamente:

Resposta

Os dois números são aproximadamente e .

Exercícios relacionados

Considerando que: e , use a regra da cadeia para encontrar em :
Encontre o plano tangente e reta normal às superfícies nos respectivos pontos dados:
, em
Encontre todas as soluções reais da equação .
Um cilindro metálico tem altura e raio de base . Foram efetuadas 5 medidas de cada uma dessas dimensões, obtendo-se os valores a seguir:
20,50 20,49 20,51 20,52 20,51
5,02 5,01 4,99 5,01 5,02
Determine o volume e a área lateral do cilindro.