Encontre o polinômio (na Forma de Newton) que interpola f em x0, x1 e x2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de interpolação na Forma de Newton que passa pelos pontos , e . Isso faz parte do estudo de Interpolação Polinomial em Cálculo. Para isso, vamos precisar usar as diferenças divididas, que são essenciais para construir esse polinômio de forma eficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores da função nos pontos dados. Vamos chamar:
Esses valores são os que a gente usa para montar o polinômio que vai “passar” por esses pontos específicos.

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças divididas, que são usadas na Forma de Newton para construir o polinômio. A ideia é descobrir como a função f[x0, x1] = f1 - f0x1 - x0 muda entre esses pontos.
Primeira diferença dividida:
f[x1, x2] = f2 - f1x2 - x1
Segunda diferença dividida:
f[x0, x1, x2] = f[x1, x2] - f[x0, x1]x2 - x0
E a terceira diferença dividida, que envolve as duas primeiras:

Passo 4

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de Newton. A forma geral desse polinômio para três pontos é:
P(x) = f0 + (x - x0)f[x0, x1] + (x - x0)(x - x1)f[x0, x1, x2]
Essa expressão basicamente combina as diferenças divididas com os termos e para ajustar o polinômio de acordo com os pontos dados.

Passo 5

Vamos substituir as diferenças divididas que calculamos na expressão do polinômio:
Isso nos dá o polinômio que interpola a função P(x) = f0 + f1 - f0x1 - x0(x - x0) + f2 - f1x2 - x1 - f1 - f0x1 - x0x2 - x0(x - x0)(x - x1) nos pontos , e .

Resposta

O polinômio de interpolação na Forma de Newton que interpola P(x) = f0 + f1 - f0x1 - x0(x - x0) + f2 - f1x2 - x1 - f1 - f0x1 - x0x2 - x0(x - x0)(x - x1) nos pontos , e é:
Esse polinômio garante que , e , cumprindo o papel de interpolador conforme solicitado.

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