Encontre o polinômio (na Forma de Newton) que interpola em e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de interpolação na Forma de Newton que passa pelos pontos , e . Isso faz parte do estudo de Interpolação Polinomial em Cálculo. Para isso, vamos precisar usar as diferenças divididas, que são essenciais para construir esse polinômio de forma eficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores da função nos pontos dados. Vamos chamar:
Esses valores são os que a gente usa para montar o polinômio que vai “passar” por esses pontos específicos.

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças divididas, que são usadas na Forma de Newton para construir o polinômio. A ideia é descobrir como a função muda entre esses pontos.
Primeira diferença dividida:
Segunda diferença dividida:
E a terceira diferença dividida, que envolve as duas primeiras:

Passo 4

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de Newton. A forma geral desse polinômio para três pontos é:
Essa expressão basicamente combina as diferenças divididas com os termos e para ajustar o polinômio de acordo com os pontos dados.

Passo 5

Vamos substituir as diferenças divididas que calculamos na expressão do polinômio:
Isso nos dá o polinômio que interpola a função nos pontos , e .

Resposta

O polinômio de interpolação na Forma de Newton que interpola nos pontos , e é:
Esse polinômio garante que , e , cumprindo o papel de interpolador conforme solicitado.

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Em um processo de interpolação linear por partes dividimos um intervalo em subintervalos de igual comprimento e, dentro de cada subintervalo, aproximamos por um polinômio de grau 1 (uma reta). Considere o problema de construir uma tabela que contenha valores de para pontos igualmente espaçados no intervalo . Qual deve ser o menor número de pontos dessa tabela para que a interpolação linear por partes de tenha erro absoluto menor que para qualquer ? Dica: trabalhe com a fórmula do erro absoluto dentro de um subintervalo genérico e use o fato de que para .
Obtenha o polinômio na forma de Newton que passa por todos os pontos da tabela abaixo:
1 0 2
2 6 0 14
Escreva as fórmulas para cálculo de raizes da equação com menor erro relativo sabendo que .
Prove que equação possui uma raiz localizada no intervalo . Calcule o primeiro termo da seqüência no método de falsa posição. Prove que a equação possui uma única raiz real.