Encontre o polinômio (na Forma de Newton) que interpola
em
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de interpolação na Forma de Newton que passa pelos pontos
,
e
. Isso faz parte do estudo de Interpolação Polinomial em Cálculo. Para isso, vamos precisar usar as diferenças divididas, que são essenciais para construir esse polinômio de forma eficiente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores da função
nos pontos dados. Vamos chamar:
Esses valores são os que a gente usa para montar o polinômio que vai “passar” por esses pontos específicos.
Passo 3
Agora, vamos calcular as diferenças divididas, que são usadas na Forma de Newton para construir o polinômio. A ideia é descobrir como a função
muda entre esses pontos.
Primeira diferença dividida:
Segunda diferença dividida:
E a terceira diferença dividida, que envolve as duas primeiras:
Passo 4
Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de Newton. A forma geral desse polinômio para três pontos é:
Essa expressão basicamente combina as diferenças divididas com os termos
e
para ajustar o polinômio de acordo com os pontos dados.
Passo 5
Vamos substituir as diferenças divididas que calculamos na expressão do polinômio:
Isso nos dá o polinômio que interpola a função
nos pontos
,
e
.
Resposta
O polinômio de interpolação na Forma de Newton que interpola
nos pontos
,
e
é:
Esse polinômio garante que
,
e
, cumprindo o papel de interpolador conforme solicitado.
Exercícios relacionados
Em um processo de interpolação linear por partes dividimos um intervalo
em
subintervalos de igual comprimento e, dentro de cada subintervalo, aproximamos
por um polinômio de grau 1 (uma reta). Considere o problema de construir uma tabela que contenha valores de
para pontos igualmente espaçados no intervalo
. Qual deve ser o menor número de pontos dessa tabela para que a interpolação linear por partes de
tenha erro absoluto menor que
para qualquer
? Dica: trabalhe com a fórmula do erro absoluto
dentro de um subintervalo genérico
e use o fato de que
para
.
Obtenha o polinômio na forma de Newton que passa por todos os pontos da tabela abaixo:
|
1 |
|
0 | 2 |
---|---|---|---|---|
|
2 | 6 | 0 | 14 |
Escreva as fórmulas para cálculo de raizes da equação
com menor erro relativo sabendo que
.
Prove que equação
possui uma raiz localizada no intervalo
. Calcule o primeiro termo da seqüência no método de falsa posição. Prove que a equação possui uma única raiz real.