Encontre o polinômio (na Forma de Newton) que interpola
em
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de interpolação na Forma de Newton que passa pelos pontos
,
e
. Isso faz parte do estudo de Interpolação Polinomial em Cálculo. Para isso, vamos precisar usar as diferenças divididas, que são essenciais para construir esse polinômio de forma eficiente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores da função
nos pontos dados. Vamos chamar:
Esses valores são os que a gente usa para montar o polinômio que vai “passar” por esses pontos específicos.
Passo 3
Agora, vamos calcular as diferenças divididas, que são usadas na Forma de Newton para construir o polinômio. A ideia é descobrir como a função
muda entre esses pontos.
Primeira diferença dividida:
Segunda diferença dividida:
E a terceira diferença dividida, que envolve as duas primeiras:
Passo 4
Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de Newton. A forma geral desse polinômio para três pontos é:
Essa expressão basicamente combina as diferenças divididas com os termos
e
para ajustar o polinômio de acordo com os pontos dados.
Passo 5
Vamos substituir as diferenças divididas que calculamos na expressão do polinômio:
Isso nos dá o polinômio que interpola a função
nos pontos
,
e
.
Resposta
O polinômio de interpolação na Forma de Newton que interpola
nos pontos
,
e
é:
Esse polinômio garante que
,
e
, cumprindo o papel de interpolador conforme solicitado.