Em um processo de interpolação linear por partes dividimos um intervalo em subintervalos de igual comprimento e, dentro de cada subintervalo, aproximamos por um polinômio de grau 1 (uma reta). Considere o problema de construir uma tabela que contenha valores de para pontos igualmente espaçados no intervalo . Qual deve ser o menor número de pontos dessa tabela para que a interpolação linear por partes de tenha erro absoluto menor que para qualquer ? Dica: trabalhe com a fórmula do erro absoluto dentro de um subintervalo genérico e use o fato de que para .

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos a função no intervalo e queremos aproximar essa função usando interpolação linear por partes. Isso significa que vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais e, em cada um deles, usar uma reta para aproximar . Nosso objetivo é descobrir qual é o menor número de pontos que precisamos na tabela para que o erro absoluto dessa aproximação seja menor que em todo o intervalo .
Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula do erro absoluto na interpolação linear e como ela se relaciona com o número de subintervalos que escolhemos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a interpolação linear por partes. Imagine que você tem dois pontos, e . A interpolação linear usa a reta que passa por esses dois pontos para aproximar entre e . A fórmula dessa reta é:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o erro dessa aproximação. O erro absoluto entre a função verdadeira e a interpolação pode ser estimado usando a segunda derivada de . A fórmula geral para o erro na interpolação linear é:
Aqui, é o comprimento do subintervalo, e é a segunda derivada da função.

Passo 4

Nossa função é . Vamos calcular a segunda derivada dela:
Como é sempre crescente, o valor máximo de no intervalo é .

Passo 5

Queremos que o erro absoluto seja menor que em todo o intervalo. Então, usando a fórmula do erro:
Como dividimos o intervalo em subintervalos iguais, cada subintervalo tem comprimento . Substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos resolver essa inequação para encontrar :

Passo 7

Calculando os valores:
Sabemos que , então:
Como precisa ser inteiro, arredondamos para cima:

Resposta

O menor número de pontos necessário na tabela é 19.

Exercícios relacionados

Obtenha o polinômio na forma de Newton que passa por todos os pontos da tabela abaixo:
1 0 2
2 6 0 14
Verifique se existe e é único o polinômio interpolador de grau 2 que cumpre as seguintes condições: . Dica: resolva este exercício usando a técnica de obter o polinômio através da resolução de um sistema linear.
Encontre o polinômio (na Forma de Newton) que interpola em e .
Escreva as fórmulas para cálculo de raizes da equação com menor erro relativo sabendo que .