Em um processo de interpolação linear por partes dividimos um intervalo
em
subintervalos de igual comprimento e, dentro de cada subintervalo, aproximamos
por um polinômio de grau 1 (uma reta). Considere o problema de construir uma tabela que contenha valores de
para pontos igualmente espaçados no intervalo
. Qual deve ser o menor número de pontos dessa tabela para que a interpolação linear por partes de
tenha erro absoluto menor que
para qualquer
? Dica: trabalhe com a fórmula do erro absoluto
dentro de um subintervalo genérico
e use o fato de que
para
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos a função
no intervalo
e queremos aproximar essa função usando interpolação linear por partes. Isso significa que vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais e, em cada um deles, usar uma reta para aproximar
. Nosso objetivo é descobrir qual é o menor número de pontos que precisamos na tabela para que o erro absoluto dessa aproximação seja menor que
em todo o intervalo
.
Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula do erro absoluto na interpolação linear e como ela se relaciona com o número de subintervalos que escolhemos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a interpolação linear por partes. Imagine que você tem dois pontos,
e
. A interpolação linear usa a reta que passa por esses dois pontos para aproximar
entre
e
. A fórmula dessa reta é:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o erro dessa aproximação. O erro absoluto
entre a função verdadeira
e a interpolação
pode ser estimado usando a segunda derivada de
. A fórmula geral para o erro na interpolação linear é:
Aqui,
é o comprimento do subintervalo, e
é a segunda derivada da função.
Passo 4
Nossa função é
. Vamos calcular a segunda derivada dela:
Como
é sempre crescente, o valor máximo de
no intervalo
é
.
Passo 5
Queremos que o erro absoluto seja menor que
em todo o intervalo. Então, usando a fórmula do erro:
Como dividimos o intervalo
em
subintervalos iguais, cada subintervalo tem comprimento
. Substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos resolver essa inequação para encontrar
:
Passo 7
Calculando os valores:
Sabemos que
, então:
Como
precisa ser inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
O menor número de pontos necessário na tabela é 19.
Exercícios relacionados
Obtenha o polinômio na forma de Newton que passa por todos os pontos da tabela abaixo:
|
1 |
|
0 | 2 |
---|---|---|---|---|
|
2 | 6 | 0 | 14 |
Verifique se existe e é único o polinômio interpolador de grau 2 que cumpre as seguintes condições:
. Dica: resolva este exercício usando a técnica de obter o polinômio através da resolução de um sistema linear.
Encontre o polinômio (na Forma de Newton) que interpola
em
e
.
Escreva as fórmulas para cálculo de raizes da equação
com menor erro relativo sabendo que
.