Em um processo de interpolação linear por partes dividimos um intervalo [a, b] em n subintervalos de igual comprimento e, dentro de cada subintervalo, aproximamos f(x) por um polinômio de grau 1 (uma reta). Considere o problema de construir uma tabela que contenha valores de f(x)=e^x para pontos igualmente espaçados no intervalo [0,1]. Qual deve ser o menor número de pontos dessa tabela para que a interpolação linear por partes de f(x) tenha erro absoluto menor que 10^-6 para qualquer x in[0,1] ? Dica: trabalhe com a fórmula do erro absoluto |E(x)| dentro de um subintervalo genérico [xi, xi+1] subset[0,1] e use o fato de que |E(x)| <= 10^-6 para x in[0,1].

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está pedindo. Temos a função no intervalo e queremos aproximar essa função usando interpolação linear por partes. Isso significa que vamos dividir o intervalo em subintervalos iguais e, em cada um deles, usar uma reta para aproximar . Nosso objetivo é descobrir qual é o menor número de pontos que precisamos na tabela para que o erro absoluto dessa aproximação seja menor que em todo o intervalo .
Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula do erro absoluto na interpolação linear e como ela se relaciona com o número de subintervalos que escolhemos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a interpolação linear por partes. Imagine que você tem dois pontos, P(x) = f(xi) + f(xi+1) - f(xi)xi+1 - xi (x - xi) e . A interpolação linear usa a reta que passa por esses dois pontos para aproximar entre e . A fórmula dessa reta é:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o erro dessa aproximação. O erro absoluto |E(x)| <= (xi+1 - xi)^28 cdot maxx in [xi, xi+1] |f''(x)| entre a função verdadeira e a interpolação pode ser estimado usando a segunda derivada de . A fórmula geral para o erro na interpolação linear é:
Aqui, é o comprimento do subintervalo, e é a segunda derivada da função.

Passo 4

Nossa função é f'(x) = e^x f''(x) = e^x . Vamos calcular a segunda derivada dela:
Como é sempre crescente, o valor máximo de no intervalo é .

Passo 5

Queremos que o erro absoluto seja menor que (xi+1 - xi)^28 cdot e <= 10^-6 em todo o intervalo. Então, usando a fórmula do erro:
h^28 cdot e <= 10^-6 (1/n)^28 cdot e <= 10^-6
Como dividimos o intervalo em subintervalos iguais, cada subintervalo tem comprimento . Substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos resolver essa inequação para encontrar 18n^2 cdot e <= 10^-6 e8n^2 <= 10^-6 n^2 >= e8 times 10^-6 n >= raize8 times 10^-6 :

Passo 7

Calculando os valores:
Sabemos que n >= raiz2,718288 times 10^-6 n >= raiz2,718280,000008 n >= raiz339,785 n >= 18,43 , então:
n = 19
Como precisa ser inteiro, arredondamos para cima:

Resposta

O menor número de pontos necessário na tabela é 19.

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