Obtenha o polinômio na forma de Newton que passa por todos os pontos da tabela abaixo:
x 1 3 / 2 0 2
f(x) 2 6 0 14

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o polinômio na forma de Newton que passa por todos os pontos da tabela dada. A matéria envolvida aqui é interpolação de polinômios, especificamente usando a forma de Newton. Para isso, vamos precisar entender como calcular diferenças divididas e montar o polinômio passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os pontos fornecidos. Temos os pares (x, f(x)):
c|cccc x & 1 & dfrac32 & 0 & 2 hline f(x) & 2 & 6 & 0 & 14
Para facilitar os cálculos, é bom ordenar os pontos pelo valor de x de forma crescente:
c|cccc x & 0 & 1 & dfrac32 & 2 hline f(x) & 0 & 2 & 6 & 14

Passo 3

Agora, vamos construir a tabela de diferenças divididas. A ideia das diferenças divididas é calcular coeficientes que nos ajudarão a montar o polinômio de Newton.
Primeiro, listamos f[xi] = f(xi):
c|c x & f[x] hline 0 & 0 1 & 2 dfrac32 & 6 2 & 14

Passo 4

Calculamos as primeiras diferenças divididas:
f[x0, x1] = dfracf(x1) - f(x0)x1 - x0 = dfrac2 - 01 - 0 = 2
f[x1, x2] = dfrac6 - 2dfrac32 - 1 = dfrac4dfrac12 = 8
f[x2, x3] = dfrac14 - 62 - dfrac32 = dfrac8dfrac12 = 16

Passo 5

Calculamos as segundas diferenças divididas:
f[x0, x1, x2] = dfracf[x1, x2] - f[x0, x1]x2 - x0 = dfrac8 - 2dfrac32 - 0 = dfrac6dfrac32 = 4
f[x1, x2, x3] = dfracf[x2, x3] - f[x1, x2]x3 - x1 = dfrac16 - 82 - 1 = dfrac81 = 8

Passo 6

Calculamos a terceira diferença dividida:
f[x0, x1, x2, x3] = dfracf[x1, x2, x3] - f[x0, x1, x2]x3 - x0 = dfrac8 - 42 - 0 = dfrac42 = 2

Passo 7

Agora que temos todas as diferenças divididas, podemos montar o polinômio de Newton. A forma geral é:
P(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + f[x0, x1, x2, x3](x - x0)(x - x1)(x - x2)
Substituindo os valores que calculamos:
P(x) = 0 + 2(x - 0) + 4(x - 0)(x - 1) + 2(x - 0)(x - 1)(x - dfrac32)

Resposta

O polinômio na forma de Newton que passa pelos pontos dados é:
P(x) = 2x + 4x(x - 1) + 2x(x - 1)(x - dfrac32)

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