Encontre o polinômio de Taylor de ordem 2 , centrado em
, da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2, centrado em
, para a função
. Vamos precisar usar conceitos de séries de Taylor e derivadas até a segunda ordem para chegar na solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma aproximação polinomial de uma função em torno de um ponto
. Para o nosso caso,
, e queremos um polinômio de ordem 2, ou seja, que inclua até o termo de
.
Passo 3
Precisamos calcular
, onde
. Vamos substituir na função:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a primeira derivada de
:
Substituindo
:
Passo 5
Em seguida, encontramos a segunda derivada de
:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, montamos o polinômio de Taylor de ordem 2 usando a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em
para a função
é:
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Verifique que se
, e
forem constantes, então
é uma solução para a equação diferencial
. Classifique a equação diferencial.
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