Encontre o polinômio de Taylor de ordem 2 , centrado em x0=1, da função f(x)=x ln x+x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2, centrado em , para a função . Vamos precisar usar conceitos de séries de Taylor e derivadas até a segunda ordem para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. É uma aproximação polinomial de uma função em torno de um ponto . Para o nosso caso, , e queremos um polinômio de ordem 2, ou seja, que inclua até o termo de .

Passo 3

Precisamos calcular f(1) = 1 cdot ln(1) + 1^2 = 0 + 1 = 1 , onde . Vamos substituir na função:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de f'(x) = ddx(x ln x) + ddx(x^2) = ln x + 1 + 2x :
f'(1) = ln(1) + 1 + 2(1) = 0 + 1 + 2 = 3
Substituindo :

Passo 5

Em seguida, encontramos a segunda derivada de f''(x) = ddx(ln x + 1 + 2x) = 1x + 0 + 2 = 1x + 2 :
f''(1) = 11 + 2 = 1 + 2 = 3
Substituindo :

Passo 6

Agora, montamos o polinômio de Taylor de ordem 2 usando a fórmula:
P2(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)2(x - a)^2
Substituindo os valores que encontramos:
P2(x) = 1 + 3(x - 1) + 32(x - 1)^2

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em P2(x) = 1 + 3(x - 1) + 32(x - 1)^2 para a função é:

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