Esboce os gráficos das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função
. Isso envolve conhecimentos de funções logarítmicas e suas propriedades. Vamos precisar entender como o logaritmo age sobre expressões quadráticas e identificar pontos chave para desenhar o gráfico certinho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o domínio da função. O logaritmo está definido apenas para argumentos positivos. Então, precisamos que
. Como
é sempre não negativo,
será sempre maior que zero para qualquer valor de
. Portanto, o domínio da função é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos. Para o intercepto com o eixo
, calculamos
:
Então, o gráfico passa pela origem
.
Não há interceptos com o eixo
além da origem, já que
apenas quando
.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito e menos infinito. Para
grande:
À medida que
vai para
ou
,
também vai para
. Então, a função cresce sem limites em ambas as direções.
Passo 5
Vamos verificar se a função é simétrica. Observamos que:
Como
, a função é par, ou seja, tem simetria em relação ao eixo
.
Passo 6
Vamos encontrar a derivada para entender onde a função está aumentando ou diminuindo:
Analisando o sinal de
:
- Para
, : a função está aumentando. - Para
, : a função está diminuindo. - Em
, : ponto de mínimo.
Passo 7
Vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
- Domínio: todos os reais.
- Ponto de mínimo em
. - Função simétrica em relação ao eixo
. - Cresce para
e sem limites. - Não há interceptos com o eixo
além da origem.
Resposta
O gráfico da função
é uma curva simétrica em relação ao eixo
, com ponto mínimo na origem
. A função cresce indefinidamente conforme
se afasta de zero em ambas as direções. Não há outros interceptos com os eixos. O esboço apresenta uma “U” alongada que se abre para cima, refletindo a natureza quadrática dentro do logaritmo.
Exercícios relacionados
Esboce os gráficos das funções abaixo:
Mostre que a equação
tem uma única raiz real.
Encontre o polinômio de Taylor de ordem 2 , centrado em
, da função
.
Verifique que se
, e
forem constantes, então
é uma solução para a equação diferencial
. Classifique a equação diferencial.