Esboce os gráficos das funções abaixo:
f(x)=ln (x^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos o gráfico da função . Isso envolve conhecimentos de funções logarítmicas e suas propriedades. Vamos precisar entender como o logaritmo age sobre expressões quadráticas e identificar pontos chave para desenhar o gráfico certinho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o domínio da função. O logaritmo está definido apenas para argumentos positivos. Então, precisamos que . Como é sempre não negativo, será sempre maior que zero para qualquer valor de . Portanto, o domínio da função é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos. Para o intercepto com o eixo f(0) = ln(0^2 + 1) = ln(1) = 0 , calculamos :
Então, o gráfico passa pela origem .
Não há interceptos com o eixo além da origem, já que apenas quando .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função quando f(x) = ln(x^2 + 1) approx ln(x^2) = 2ln|x| tende ao infinito e menos infinito. Para grande:
À medida que vai para ou , também vai para . Então, a função cresce sem limites em ambas as direções.

Passo 5

Vamos verificar se a função é simétrica. Observamos que:
f(-x) = ln((-x)^2 + 1) = ln(x^2 + 1) = f(x)
Como , a função é par, ou seja, tem simetria em relação ao eixo .

Passo 6

Vamos encontrar a derivada para entender onde a função está aumentando ou diminuindo:
f'(x) = ddx ln(x^2 + 1) = 2xx^2 + 1
Analisando o sinal de :
  • Para , : a função está aumentando.
  • Para , : a função está diminuindo.
  • Em , : ponto de mínimo.

Passo 7

Vamos resumir as informações para esboçar o gráfico:
  • Domínio: todos os reais.
  • Ponto de mínimo em .
  • Função simétrica em relação ao eixo .
  • Cresce para e sem limites.
  • Não há interceptos com o eixo além da origem.

Resposta

O gráfico da função é uma curva simétrica em relação ao eixo , com ponto mínimo na origem . A função cresce indefinidamente conforme se afasta de zero em ambas as direções. Não há outros interceptos com os eixos. O esboço apresenta uma “U” alongada que se abre para cima, refletindo a natureza quadrática dentro do logaritmo.

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Esboce os gráficos das funções abaixo:
f(x)=xx^2+1
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