Esboce os gráficos das funções abaixo:
f(x)=xx^2+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função . Isso está dentro do conteúdo de funções racionais na matemática. Para resolver isso, vamos precisar identificar várias características da função, como domínio, interceptos, assíntotas, pontos críticos e comportamento geral do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Nesse caso, o denominador nunca é zero porque é sempre não negativo e, adicionando 1, o menor valor que o denominador pode ter é 1. Então, o domínio é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos.
  • Intercepto com o eixo y: Para encontrar, substituímos f(0) = 00^2 + 1 = 0 na função:
    xx^2 + 1 = 0 implies x = 0
    Então, o intercepto com o eixo y é (0, 0).
  • Interceptos com o eixo x: São os pontos onde . Isso ocorre quando o numerador é zero:
    Então, o intercepto com o eixo x também é (0, 0).

Passo 4

Vamos verificar se há assíntotas.
  • Assíntotas verticais: São linhas x = a onde a função não está definida. Mas como vimos no Passo 2, o denominador nunca é zero, então não há assíntotas verticais.
  • Assíntotas horizontais: Analisamos o comportamento da função quando limx to pminfty xx^2 + 1 = 0 tende a :
    Então, a linha é uma assíntota horizontal.

Passo 5

Agora, vamos estudar o comportamento da função e identificar pontos críticos para determinar onde a função aumenta ou diminui.
Primeiro, encontramos a derivada de f'(x) = (x^2 + 1)(1) - x(2x)(x^2 + 1)^2 = x^2 + 1 - 2x^2(x^2 + 1)^2 = 1 - x^2(x^2 + 1)^2 :
1 - x^2(x^2 + 1)^2 = 0 implies 1 - x^2 = 0 implies x = pm1
Agora, igualamos :
Esses são os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.

Passo 6

Vamos analisar a segunda derivada para determinar a concavidade e confirmar se são máximos ou mínimos.
Calculamos f''(x) = ddx( 1 - x^2(x^2 + 1)^2 ) :
Após calculações (que podemos pular para simplificar), descobrimos que:
  • Em , , então temos um máximo local.
  • Em , , também um máximo local.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • A função passa pela origem (0,0).
  • Não há assíntotas verticais.
  • Há uma assíntota horizontal em .
  • Existem máximos locais em e .
  • A função está crescendo nos intervalos onde a derivada é positiva e decrescendo onde é negativa.

Resposta

O gráfico da função passa pela origem, possui uma assíntota horizontal em , tem máximos locais em e , e é simétrica em relação à origem. A função aumenta nos intervalos e , e diminui nos intervalos e . O esboço refletirá esses comportamentos com a curva se aproximando da linha conforme tende para .

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