Esboce os gráficos das funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função
. Isso está dentro do conteúdo de funções racionais na matemática. Para resolver isso, vamos precisar identificar várias características da função, como domínio, interceptos, assíntotas, pontos críticos e comportamento geral do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Nesse caso, o denominador
nunca é zero porque
é sempre não negativo e, adicionando 1, o menor valor que o denominador pode ter é 1. Então, o domínio é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos.
-
Intercepto com o eixo y: Para encontrar, substituímos
na função: Então, o intercepto com o eixo y é (0, 0). -
Interceptos com o eixo x: São os pontos onde
. Isso ocorre quando o numerador é zero: Então, o intercepto com o eixo x também é (0, 0).
Passo 4
Vamos verificar se há assíntotas.
-
Assíntotas verticais: São linhas x = a onde a função não está definida. Mas como vimos no Passo 2, o denominador nunca é zero, então não há assíntotas verticais.
-
Assíntotas horizontais: Analisamos o comportamento da função quando
tende a : Então, a linhaé uma assíntota horizontal.
Passo 5
Agora, vamos estudar o comportamento da função e identificar pontos críticos para determinar onde a função aumenta ou diminui.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Agora, igualamos
:
Esses são os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.
Passo 6
Vamos analisar a segunda derivada para determinar a concavidade e confirmar se são máximos ou mínimos.
Calculamos
:
Após calculações (que podemos pular para simplificar), descobrimos que:
- Em
, , então temos um máximo local. - Em
, , também um máximo local.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
- A função passa pela origem (0,0).
- Não há assíntotas verticais.
- Há uma assíntota horizontal em
. - Existem máximos locais em
e . - A função está crescendo nos intervalos onde a derivada é positiva e decrescendo onde é negativa.
Resposta
O gráfico da função
passa pela origem, possui uma assíntota horizontal em
, tem máximos locais em
e
, e é simétrica em relação à origem. A função aumenta nos intervalos
e
, e diminui nos intervalos
e
. O esboço refletirá esses comportamentos com a curva se aproximando da linha
conforme
tende para
.
Exercícios relacionados
Mostre que a equação
tem uma única raiz real.
Mostre que a função
é estritamente decrescente no intervalo
e conclua que
.
Esboce os gráficos das funções abaixo:
Encontre o polinômio de Taylor de ordem 2 , centrado em
, da função
.