Verifique que se C1, e C2 forem constantes, então y=C1 sen x+C2 cos x é uma solução para a equação diferencial y^prime prime+y=0. Classifique a equação diferencial.

Passo 1

Vamos analisar o exercício solicitado. Precisamos verificar se a função é uma solução para a equação diferencial , onde e são constantes. Além disso, devemos classificar a equação diferencial apresentada. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções trigonométricas e a definição de equações diferenciais lineares de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de y = C1 sin x + C2 cos x em relação a y' = C1 cos x - C2 sin x :
A derivada de é e a derivada de é . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de y' = C1 cos x - C2 sin x em relação a y'' = -C1 sin x - C2 cos x :
Derivando novamente:

Passo 4

Com as derivadas encontradas, substituímos y'' + y = (-C1 sin x - C2 cos x) + (C1 sin x + C2 cos x) e y'' + y = 0 na equação diferencial original :
Simplificando:
Isso confirma que a função satisfaz a equação diferencial dada.

Passo 5

Agora, vamos classificar a equação diferencial . Observamos que:
  • É uma equação diferencial de segunda ordem porque a derivada mais alta é a de segunda ordem ( ).
  • É linear porque a função e suas derivadas aparecem de forma linear (não são multiplicadas entre si nem elevadas a alguma potência).
  • É homogênea porque não há termos independentes (termos que não envolvem ou suas derivadas).
Portanto, a equação diferencial é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.

Resposta

A função é uma solução da equação diferencial . Além disso, a equação diferencial é classificada como uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.

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