Verifique que se
, e
forem constantes, então
é uma solução para a equação diferencial
. Classifique a equação diferencial.
Passo 1
Vamos analisar o exercício solicitado. Precisamos verificar se a função
é uma solução para a equação diferencial
, onde
e
são constantes. Além disso, devemos classificar a equação diferencial apresentada. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções trigonométricas e a definição de equações diferenciais lineares de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
em relação a
:
A derivada de
é
e a derivada de
é
. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Derivando novamente:
Passo 4
Com as derivadas encontradas, substituímos
e
na equação diferencial original
:
Simplificando:
Isso confirma que a função
satisfaz a equação diferencial dada.
Passo 5
Agora, vamos classificar a equação diferencial
. Observamos que:
- É uma equação diferencial de segunda ordem porque a derivada mais alta é a de segunda ordem (
). - É linear porque a função
e suas derivadas aparecem de forma linear (não são multiplicadas entre si nem elevadas a alguma potência). - É homogênea porque não há termos independentes (termos que não envolvem
ou suas derivadas).
Portanto, a equação diferencial é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.
Resposta
A função
é uma solução da equação diferencial
. Além disso, a equação diferencial é classificada como uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.
Exercícios relacionados
Encontre o polinômio de Taylor de ordem 2 , centrado em
, da função
.
Esboce os gráficos das funções abaixo:
Use o método de separação de variáveis para resolver a equação diferencial
Classifique cada uma das equações diferenciais ( linear; não-linear; coeficientes constantes ou variáveis; ordem; grau; homogênea ou não homogênea);