Seja uma função tal que . Determine o polinômio quadrático de Taylor de em torno de , sabendo que a reta tangente ao gráfico de em é e que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que satisfaz e queremos achar o polinômio quadrático de Taylor dela em torno de . Além disso, sabemos que a reta tangente ao gráfico de nesse ponto é e que a segunda derivada . O conteúdo que vamos usar aqui é o polinômio de Taylor, que é uma maneira de aproximar funções usando suas derivadas em um ponto específico. Para resolver isso, precisamos dos valores de , e .

Passo 2

Primeiro, já sabemos que . Esse é o valor da função no ponto que estamos considerando, ou seja, .

Passo 3

A reta tangente é dada por . A equação da reta tangente a no ponto é . Comparando com a equação que temos, (a inclinação da reta) é 4.

Passo 4

Já nos foi dado que a segunda derivada no ponto é . Isso vai entrar na parte quadrática do polinômio de Taylor.

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio quadrático de Taylor usando a fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:

Resposta

O polinômio quadrático de Taylor de em torno de é:

Exercícios relacionados

Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.
Verifique que o -ésimo termo de cada série abaixo satisfaz as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, conclua sobre a convergência da série:
Encontre o polinômio de Taylor de ordem em torno de para cada função abaixo. .
Encontre o polinômio de Taylor de ordem em torno de para cada função abaixo. .