Seja uma função
tal que
. Determine o polinômio quadrático de Taylor de
em torno de
, sabendo que a reta tangente ao gráfico de
em
é
e que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que satisfaz
e queremos achar o polinômio quadrático de Taylor dela em torno de
. Além disso, sabemos que a reta tangente ao gráfico de
nesse ponto é
e que a segunda derivada
. O conteúdo que vamos usar aqui é o polinômio de Taylor, que é uma maneira de aproximar funções usando suas derivadas em um ponto específico. Para resolver isso, precisamos dos valores de
,
e
.
Passo 2
Primeiro, já sabemos que
. Esse é o valor da função no ponto que estamos considerando, ou seja,
.
Passo 3
A reta tangente é dada por
. A equação da reta tangente a
no ponto
é
. Comparando com a equação que temos,
(a inclinação da reta) é 4.
Passo 4
Já nos foi dado que a segunda derivada no ponto
é
. Isso vai entrar na parte quadrática do polinômio de Taylor.
Passo 5
Agora, vamos montar o polinômio quadrático de Taylor usando a fórmula:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Resposta
O polinômio quadrático de Taylor de
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.
Verifique que o
-ésimo termo de cada série abaixo satisfaz as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, conclua sobre a convergência da série:
Encontre o polinômio de Taylor de ordem
em torno de
para cada função abaixo.
.
Encontre o polinômio de Taylor de ordem
em torno de
para cada função abaixo.
.