Seja uma função f tal que f(1)=2. Determine o polinômio quadrático de Taylor de f em torno de x0=1, sabendo que a reta tangente ao gráfico de f em x0=1 é y=4 x-1 e que f^prime prime(1)=6.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que satisfaz e queremos achar o polinômio quadrático de Taylor dela em torno de . Além disso, sabemos que a reta tangente ao gráfico de nesse ponto é e que a segunda derivada . O conteúdo que vamos usar aqui é o polinômio de Taylor, que é uma maneira de aproximar funções usando suas derivadas em um ponto específico. Para resolver isso, precisamos dos valores de , e .

Passo 2

Primeiro, já sabemos que . Esse é o valor da função no ponto que estamos considerando, ou seja, .

Passo 3

A reta tangente é dada por . A equação da reta tangente a no ponto é . Comparando com a equação que temos, (a inclinação da reta) é 4.

Passo 4

Já nos foi dado que a segunda derivada no ponto é . Isso vai entrar na parte quadrática do polinômio de Taylor.

Passo 5

Agora, vamos montar o polinômio quadrático de Taylor usando a fórmula:
P2(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)2(x - x0)^2
Substituindo os valores que temos:
P2(x) = 2 + 4(x - 1) + 62(x - 1)^2
Simplificando:
P2(x) = 2 + 4(x - 1) + 3(x - 1)^2

Resposta

O polinômio quadrático de Taylor de P2(x) = 2 + 4(x - 1) + 3(x - 1)^2 em torno de é:

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