Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o método da comparação no limite. Esse método é útil quando comparamos com uma série que já sabemos se ela converge ou não, tipo as séries p.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a comparação. Observando , pra grande, o termo domina. Então, podemos aproximar .

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série . Sabemos que essa é uma série p com , e como , ela converge.

Passo 4

Para confirmar, vamos aplicar o método da comparação no limite. Calculamos o limite:
Como esse limite é uma constante finita diferente de zero ( ), isso significa que as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência.

Passo 5

Já que a série comparada convergente, pela comparação no limite, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

Verifique que o -ésimo termo de cada série abaixo satisfaz as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, conclua sobre a convergência da série:
Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.
Seja uma função tal que . Determine o polinômio quadrático de Taylor de em torno de , sabendo que a reta tangente ao gráfico de em é e que .
Encontre o polinômio de Taylor de ordem em torno de para cada função abaixo. .