Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o método da comparação no limite. Esse método é útil quando comparamos com uma série que já sabemos se ela converge ou não, tipo as séries p.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a comparação. Observando
, pra
grande, o termo
domina. Então, podemos aproximar
.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série
. Sabemos que essa é uma série p com
, e como
, ela converge.
Passo 4
Para confirmar, vamos aplicar o método da comparação no limite. Calculamos o limite:
Como esse limite é uma constante finita diferente de zero (
), isso significa que as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência.
Passo 5
Já que a série comparada
convergente, pela comparação no limite, nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
Verifique que o
-ésimo termo de cada série abaixo satisfaz as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, conclua sobre a convergência da série:
Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.
Seja uma função
tal que
. Determine o polinômio quadrático de Taylor de
em torno de
, sabendo que a reta tangente ao gráfico de
em
é
e que
.
Encontre o polinômio de Taylor de ordem
em torno de
para cada função abaixo.
.