Encontre os polinômios de menor grau que interpolam este conjunto de pontos:
x0=3, f(x0)=12, x1=7, f(x1)=146, x2=1, f(x2)=2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três pontos: (3, 12), (7, 146) e (1, 2). A gente quer encontrar o polinômio de menor grau que passa por todos esses pontos. Como temos três pontos, o polinômio de menor grau será de grau 2 (quadrático). Para isso, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes desse polinômio.

Passo 2

Vamos supor que o polinômio que estamos procurando é da forma:
P(x) = ax^2 + bx + c
Aqui, , e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos usar os pontos dados para criar equações. Substituindo cada par 12 = a(3)^2 + b(3) + c na expressão do polinômio:
Para 12 = 9a + 3b + c e (Equação 1) :
146 = a(7)^2 + b(7) + c
146 = 49a + 7b + c (Equação 2) çã
Para 2 = a(1)^2 + b(1) + c e 2 = a + b + c :
(Equação 3)
çã
Para e :
çã

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações:
9a + 3b + c = 12 49a + 7b + c = 146 a + b + c = 2
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .

Passo 5

Primeiro, podemos eliminar o (9a + 3b + c) - (a + b + c) = 12 - 2 subtraindo a Equação 3 das Equações 1 e 2.
Subtraindo Equação 3 da Equação 1:
8a + 2b = 10
(Equação 4) (49a + 7b + c) - (a + b + c) = 146 - 2 çã
Subtraindo Equação 3 da Equação 2:
48a + 6b = 144
(Equação 5) çã

Passo 6

Agora, vamos simplificar as Equações 4 e 5 dividindo por 2 e 6, respectivamente:
Dividindo a Equação 4 por 2:
4a + b = 5 (Equação 6) çã
Dividindo a Equação 5 por 6:
8a + b = 24 (Equação 7) çã

Passo 7

Vamos agora subtrair a Equação 6 da Equação 7 para encontrar o valor de (8a + b) - (4a + b) = 24 - 5 :
4a = 19
a = 194

Passo 8

Com o valor de 4(194) + b = 5 encontrado, vamos substituir na Equação 6 para encontrar 19 + b = 5 :
b = 5 - 19
b = -14

Passo 9

Agora que temos 194 + (-14) + c = 2 e 194 - 564 + c = 2 , vamos substituir esses valores na Equação 3 para encontrar -374 + c = 2 :
c = 2 + 374
c = 84 + 374
c = 454

Resposta

Então, o polinômio de menor grau que interpola os pontos dados é:
P(x) = 194x^2 - 14x + 454

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