Encontre os polinômios de menor grau que interpolam este conjunto de pontos: ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos três pontos: (3, 12), (7, 146) e (1, 2). A gente quer encontrar o polinômio de menor grau que passa por todos esses pontos. Como temos três pontos, o polinômio de menor grau será de grau 2 (quadrático). Para isso, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes desse polinômio.
Passo 2
Vamos supor que o polinômio que estamos procurando é da forma:
Aqui, , e são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos usar os pontos dados para criar equações. Substituindo cada par na expressão do polinômio:
Para e :
Para e :
Para e :
Passo 4
Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .
Passo 5
Primeiro, podemos eliminar o subtraindo a Equação 3 das Equações 1 e 2.
Subtraindo Equação 3 da Equação 1:
çã
Subtraindo Equação 3 da Equação 2:
çã
Passo 6
Agora, vamos simplificar as Equações 4 e 5 dividindo por 2 e 6, respectivamente:
Dividindo a Equação 4 por 2:
çã
Dividindo a Equação 5 por 6:
çã
Passo 7
Vamos agora subtrair a Equação 6 da Equação 7 para encontrar o valor de :
Passo 8
Com o valor de encontrado, vamos substituir na Equação 6 para encontrar :
Passo 9
Agora que temos e , vamos substituir esses valores na Equação 3 para encontrar :
Resposta
Então, o polinômio de menor grau que interpola os pontos dados é: