Encontre os polinômios de menor grau que interpolam este conjunto de pontos:
;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três pontos: (3, 12), (7, 146) e (1, 2). A gente quer encontrar o polinômio de menor grau que passa por todos esses pontos. Como temos três pontos, o polinômio de menor grau será de grau 2 (quadrático). Para isso, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes desse polinômio.

Passo 2

Vamos supor que o polinômio que estamos procurando é da forma:
Aqui, , e são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos usar os pontos dados para criar equações. Substituindo cada par na expressão do polinômio:
Para e :
çã
Para e :
çã
Para e :
çã

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .

Passo 5

Primeiro, podemos eliminar o subtraindo a Equação 3 das Equações 1 e 2.
Subtraindo Equação 3 da Equação 1:
çã
Subtraindo Equação 3 da Equação 2:
çã

Passo 6

Agora, vamos simplificar as Equações 4 e 5 dividindo por 2 e 6, respectivamente:
Dividindo a Equação 4 por 2:
çã
Dividindo a Equação 5 por 6:
çã

Passo 7

Vamos agora subtrair a Equação 6 da Equação 7 para encontrar o valor de :

Passo 8

Com o valor de encontrado, vamos substituir na Equação 6 para encontrar :

Passo 9

Agora que temos e , vamos substituir esses valores na Equação 3 para encontrar :

Resposta

Então, o polinômio de menor grau que interpola os pontos dados é:

Exercícios relacionados

Suponha que, ao medir o interior de uma caixa de formato retangular com uma régua que possui medidas em milímetros, obtemos que a altura mede aproximadamente e que as dimensões da base são aproximadamente e .
(a) Estime os erros que teremos ao calcular o volume desta caixa.
Encontre os polinômios de menor grau que interpolam este conjunto de pontos:
;
Seja para todo . Use a interpolação de Lagrange para encontrar um polinômio de grau máximo igual a dois, que concorde com esta função nos pontos e . (Não simplifique!) e calcule .